Podría este modelo han soliton soluciones?

Question

Consideramos que una teoría descrita por el Lagrangiano,

$$\mathcal{L}=i\bar{\Psi}\gamma^\mu\partial_\mu\Psi-m\bar{\Psi}\Psi+\frac{1}{2}g(\bar{\Psi}\Psi)^2$$

Las correspondientes ecuaciones de campo son, $$(i\gamma^\mu\partial_\mu-m+g\bar{\Psi}\Psi)\Psi=0$$

Podría este modelo han soliton soluciones? Sin el último término, es sólo un campo de Dirac (si $g=0$), pero tiene que ser incluido. Esto es similar a la Thirring modelo. Yo estaba buscando este campo en los libros y documentos, pero no he encontrado. Si usted sabe de esto me podría dar alguna referencia?

Answer 1

La respuesta a esta pregunta es no asumir dimensiones mayores que 1+1. Esto se puede ver al observar que la ecuación de movimiento para el fermionic campo es el límite de la masa que va al infinito de un campo escalar junto a un fermionic campo. Esto puede ser visto de la siguiente manera. Considerar el Lagrangiano $$ L = \frac{1}{2}(\partial\phi)^2-\frac{1}{2}m^2\phi^2+\bar\psi(i\gamma\cdot\partial-g\phi)\psi. $$ Las ecuaciones de movimiento se obtienen fácilmente a ser $$ \partial^2\phi+m^2\phi=g\bar\psi\psi\qquad (i\gamma\cdot\partial-g\phi)\psi=0. $$ La ecuación del campo escalar puede ser inmediatamente integrado para dar $$ \phi=g\int d^Dx\Delta(x-y)\bar\psi(y)\psi(y) $$ con el propagador de una partícula libre. Este propagador, en el límite de una gran masa del campo escalar, es simplemente proporcional a $\delta^D(x-y)$. Esta observación es crucial para el siguiente. Así, nos quedamos con la ecuación $$ (i\gamma\cdot\parcial\kappa\bar\psi\psi)\psi=0 $$ donde $\kappa$ es una constante que depende de los parámetros $m$ $g$ de la Lagrangiana empezamos. De esta forma, hemos recuperado la ecuación propuesta por el OP, pero acabamos de demostrar que este es el gran límite de masa de un campo escalar junto a un fermión de campo.

Ahora, hacemos la teoría cuántica de campos en la parte inicial de Lagrange y escribir la función de partición como $$ Z[j,\bar\eta,\eta]=\int[d\phi][d\bar\psi][d\psi]e^{i\int d^Dx\left[\frac{1}{2}(\partial\phi)^2-\frac{1}{2}m^2\phi^2+\bar\psi(i\gamma\cdot\partial-g\phi)\psi\right]} e^{i\int d^Dx\left[j\phi+\bar\eta\psi-\bar\psi\eta\right]}. $$ El fermión parte pueden ser integrados inmediatamente la generación de un potencial escalar del campo en el formulario $$ V(\phi)=-i{\rm tr}\ {\rm ln}\left [\gamma\cdot\partial-g\phi\right]_{(x,x)}. $$ Esto puede ser evaluado por un bucle de expansión como $$ V(\phi)=-g_1\phi^3-g_2\phi^4+\ldots. $$ Ahora, independientemente del valor de la masa del campo escalar y la presencia de un número finito de v. e.v., el uso de Derrick teorema sabemos que estacionarias soluciones localizadas a una no lineal de la ecuación de onda no lineal o de Klein-Gordon ecuación en tres dimensiones y superior son inestables. Esto concluye la prueba de que el modelo de ecuaciones dado por el OP no tiene soliton soluciones en tres dimensiones y superior. En las dimensiones 1+1 estos pueden existir.