Antes de probabilidad de los cursos, siempre he visto y utilizado el hecho de que, para una variable aleatoria continua X y una función de $\phi$, $E[\phi(X)]=\int_{ \mathbb{R}}\phi(x) f_X(x)dx,$ pero no puedo encontrar a una rigurosa instrucción de un teorema listado de todos los supuestos en $X$ o $\phi$ en cualquiera de mis probabilidad de referencias. Actualmente estoy tratando de conciliar mi anterior probabilidad de saber y de lo que he aprendido en mi curso de teoría de la medida, el uso de Rudin "Real y el Análisis Complejo" y me gustaría probar este resultado. Mis preguntas son:
- Es mi entendimiento de la configuración correcta, y es la prueba de mi resultado por debajo de la correcta?
- Puede el teorema siguiente se fortalecerse?
Teorema: Deje $(X, \mathcal{M}, \mu)$ ser una medida positiva espacio con $\mu(X)=1$, y deje $g \in L^1(\mu)$ ser un verdadero "absolutamente continua" con la función de densidad de $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$. Si $\phi: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es absolutamente continua en $[a,b]$ por cada $a,b \in \mathbb{R}$$\lim_{t \to -\infty} \phi(t)=0$$\phi' \in L^1(\mathbb{R})$, luego $$\int_X \phi \circ g d\mu = \int_{\mathbb{R}}\phi f dm.$$
CONFIGURAR: Definir $F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$F(x) = \mu(g \leq x)$, la función de distribución de $g$. Mantener las cosas en general, vamos a $F_-$ ser la izquierda función continua de acuerdo con $F$ en todos los puntos de continuidad (esta función no importa una vez que la continuidad absoluta se define, pero es necesario en general). Definir $\Lambda: C_c(\mathbb{R}) \to \mathbb{C}$ $\Lambda(h)=\int_{\mathbb{R}} h dF_-$ (la de Riemann-Stieltjes integral). Desde $F$ es acotada y monótona, $F \in BV$, lo $\Lambda$ está bien definido y forma lineal positiva funcional. La representación de Riesz teorema implica la existencia de una medida $F_*$$\mathbb{R}$, de modo que $F_-(b)-F_-(a) = F_*([a,b))$ para todos los verdaderos $a < b$. (como en Rudin del ejercicio 7.12). Podemos decir $g$ es "absolutamente continua" si $F_* << m$, en cuyo caso la densidad de $g$ $f:= dF_*/dm.$ tenga en cuenta que si $g$ es absolutamente continua, se sigue que $F_-=F.$
Prueba Me muestran que la primera de $\int_X \phi \circ f d\mu=\int_{\mathbb{R}}\mu(g > t) \phi'(t)dt$, y la prueba sigue de cerca que de Rudin del teorema 8.16 acerca de las funciones de distribución.
Definir $E=\{(x,t): g(x) > t\} \subset X \times \mathbb{R}$, que Rudin argumenta que es medible positiva $g$, por lo que tomar lo positivo y lo negativo de las piezas de $g$ implica que el $E$ es medible. También, se observa que la $\int_X \int_{\mathbb{R}} |\chi_E(x,t) \phi'(t)|dt d\mu(x) \leq \int_X ||\phi'||_{L^1(\mathbb{R})} d\mu < \infty.$ por lo Tanto, del teorema de Fubini implica que $$\int_{\mathbb{R}}\mu(g>t)\phi'(t)dt =\int_{\mathbb{R}}\int_X \chi_E(x,t)\phi'(t) d\mu(x) dt =\int_X \int_{\mathbb{R}} \chi_E(x,t) \phi'(t)dt d\mu(x) =$$ $$\int_X \int_{-\infty}^{g(x)} \phi'(t) dt d\mu(x) .$$
Desde $\phi' \in L^1(\mathbb{R})$, el teorema de convergencia dominada y continuidad absoluta implica que esto es igual a $\int_X \phi(g(x))-\phi(-\infty) d\mu(x)= \int_X \phi \circ g d\mu.$
También,
$$\int_{\mathbb{R}}\mu(g > t) \phi'(t)dt = \int_{\mathbb{R}}(1-F(t)) \phi'(t)dt = \int_{\mathbb{R}}\int_{t}^{\infty}f(x)\phi'(t)dx dt.$$
Un argumento similar, como antes, implica que el teorema de Fubini se aplica a esta integral, y por lo tanto $$\int_X\phi \circ g d\mu= \int_{\mathbb{R}}\int_{-\infty}^{x}f(x) \phi'(t) dt dx = \int_{\mathbb{R}} f(x)(\phi(x)-\phi(-\infty))dx=\int_{\mathbb{R}}\phi f dm.$$
Tenga en cuenta que la segunda a la última igualdad agarra de nuevo por el teorema de convergencia dominada, desde $\phi$ es absolutamente continua y $\phi' \in L^1(\mathbb{R})$.
