Si $\sum_{n=0}^{\infty} {a_n}$ converge absolutamente, para qué $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n^2}{2-a_n^2}$

Question

Estoy tratando de demostrar (o refutar) que de la instrucción. Esto es lo que he intentado:

Si $\sum_{n=0}^{\infty} {|a_n|}$ converge, se puede encontrar fácilmente que lo hace $\sum_{n=0}^{\infty} {a_n^2}$ con el hecho de que el primero está acotada.

A continuación,

$$\sum_{n=0}^{\infty} {a_n^2} < C $$

Ahora el demostrar a la conclusión de que si me podría indicar los siguientes

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n^2}{|2-a_n^2|} < C $$

Lo cual no es necesariamente cierto desde mi punto de vista. Ahora es cuando traté de encontrar algún contraejemplo, pero no tuvo éxito.

Cualquier ayuda es muy apreciada, y gracias por su tiempo.

Answer 1

La idea se basa en lo que usted mismo ha dicho. Desde $|a_n|\to0$ existe $n_0$ $|a_n|<1$ todos los $n>n_0$. A continuación,$2-a_n^2>1$, y $$ \sum_{n>n_0}\frac{|a_n|^2}{2-a_n^2}\leq\sum_{n>n_0}|a_n|<\infty. $$