Determinar $\sup \{xy−x^2/2\mid x\in [-1,1]\}$

Question

Estoy tratando de encontrar el supremum del siguiente conjunto $\{xy−x^2/2\mid x\in [-1,1]\}$ , donde $y$ es un número real. No estoy seguro de que esto sea correcto, pero he conseguido encontrar que $$ \sup \{ xy-x^2/2\mid x\in [-1,1]\}=\begin{cases} y^2/2 & \text{ if } y\in [-1,1] \\ y-1/2 & \text{ if } y>1 \\ -y-1/2 & \text{ if } y<-1 \end{cases} $$

Answer 1

Está calculando el conjugado convexo de $(f+g)(x)$ donde $f(x) = 0.5 x^2$ y $g(x) = \delta(x, [-1,1])$ (tomando el valor 0 si $x$ está en el intervalo y $\infty$ de lo contrario. Tenga en cuenta que $f^*(y) = 0.5 y^2$ y $g^*(y) = |y|$ . $$\sup_x \{ xy - (f+g)(x)\} = (f+g)^*(y)= \inf_z \{ f^*(z)+g^*(y-z)\} $$ $$ = \inf_z \{ 0.5 z^2+ |y-z|\} $$ Se trata de un problema de optimización convexa sin restricciones. La derivada es $z-1$ si $y > z$ y $z+1$ si $y < z$ y el gradiente es $[z-1,z+1]$ si $y=z$ . Tenemos que 0 está en el gradiente si ( $z=1$ y $y>z$ ) o ( $z \in [-1,1]$ y $y=z$ ) o ( $z=-1$ y $y<z$ ). Esto da los tres casos de su pregunta.