¿Cómo se diferencia con respecto a y?

Question

Encuentre el gradiente de

$$z=x^y$$

Entiendo cómo conseguirlo con respecto a $x$ desde $y$ se trata como una constante. Pero al tratar de resolverlo con respecto a $y$ Por qué es incorrecto diferenciar implícitamente y utilizar la regla del producto:

$$\ln(z)=y\cdot ln(x)$$

$$\frac{(z_y)}{z}=\Bigr(y\cdot \frac{1}{x}\Bigr)+(1\cdot \ln(x))$$

$$z_y=z\Bigr(\frac{y}{x}+\ln(x)\Bigr)$$

$$z_y=x^y\Bigr(\frac{y}{x}+\ln(x)\Bigr)$$

Answer 1

En el cálculo de una sola variable, una primera aplicación de la diferenciación implícita suele ser encontrar la derivada de $x \mapsto a^x$ , donde $a > 0$ . El argumento típico es \begin{align*} y = a^x &\implies \log(y) = x\log(a) \\ &\implies \frac{1}{y} y' = \log(a) \\ &\implies y' = y\log(a) = a^x \log(a). \end{align*} En su problema, al diferenciar con respecto a $y$ , es necesario que consideres $x$ como una constante (probablemente también debería asumir que $x > 0$ ). A continuación, puede aplicar el resultado de una sola variable para obtener $$ z_y = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y} x^y = x^y\log(x). $$

Answer 2

Tenga en cuenta que $x $ no es una función de $y $ . Por lo tanto, $x_y=0$ . Así que la correcta es:

$$\ln(z)=y\cdot\ln(x)$$

$$\frac{(z_y)}{z}=1\cdot\ln(x)$$

$$z_y=z\ln(x)$$

$$z_y=x^y\ln(x)$$

Answer 3

Cuando se toma la derivada de $x^y$ con respecto a $y$ ¿se está tratando $x$ como una constante o como una función de $y$ ?

Si es lo primero, entonces (utilizando su notación) se obtiene $\frac{z_y}{z}=1 \times \ln(x)$ y así $z_y = x^y \ln(x)$

Si se trata de esto último, se obtiene $\frac{z_y}{z}=y \times \frac1x\times x_y+1 \times \ln(x)$ y así $z_y =y x^{y-1} x_y+ x^y \ln(x)$ . Entonces también podría decir $z_x = y x^{y-1}+ x^y \ln(x) y_x$ al tomar la derivada de $x^y$ con respecto a $x$

Answer 4

Cuando estamos diferenciando con respecto a $y$ , $x$ debe tratarse como una constante. El $\frac yx$ término ahí que viene de diferenciar $x$ no debería estar ahí.

Answer 5

Las variables $x$ y $y$ deben ser considerados independiente al calcular el gradiente de $z$ Es decir,

$\nabla z = (z_x, z_y), \tag 1$

que es un vector . Tenemos

$z = x^y, \tag 2$

de donde

$z_x = yx^{y - 1}, \tag 3$

como nuestro OP Random Student ha señalado. En cuanto a $z_y$ tenemos

$\ln z = y \ln x, \tag 4$

de donde

$\dfrac{z_y}{z} = \ln x, \tag 5$

o

$z_y = z \ln x = x^y \ln x; \tag 6$

así,

$\nabla z = (z_x, z_y) = (yx^{y - 1}, x^y \ln x). \tag 7$

En (4)-(6), tenemos implícitamente diferenciado $z$ con respecto a $y$ solo , sosteniendo $x$ constante.