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¿Tengo algo mal al resolver$y'+2y=6$?

Resuelve $$y'+2y=6.$ $


Cuando hago $$y'=2(3-y)\implies\int\frac{\mathrm dy}{3-y}=2\int\mathrm dx\implies-\ln{|3-y|}=2x+c\implies3-y=ke^{-2x}\therefore y=\boxed{3-ke^{-2x}},\quad c,k\in\Bbb R.$$ It satisfies the ODE because $$2ke^{-2x}+6-2ke^{-2x}=6=6.$$ However, when I try another solution, namely first solve the homogeneous equation: $$y'+2y=0\implies\int\frac{\mathrm dy}y=-2\int\mathrm dx\implies\ln{|y|}=-2x+c\implies y=ke^{-2x},\quad c,k\in\Bbb R$$ then $ y_P = k (x) e ^ {- 2x}$, so then $ $y'_P=k'(x)e^{-2x}-2k(x)e^{-2x}\implies k'(x)e^{-2x}-2k(x)e^{-2x}+2k(x)e^{-2x}=6\implies k'(x)=6e^{2x}\implies k(x)=3e^{2x}\implies y_P=3e^{2x}e^{-2x}=3\therefore y=y_H+y_P=\boxed{3+ke^{-2x}},$$ where this solution also satisfies $ y '+ 2y = 6$, because $$-2ke^{-2x}+6+2ke^{-2x}=6=6.$$ My question is, how can we express both solutions with the same expression of $ y $ ? Me gustaría que ambas soluciones fueran idénticas, pero ¿cómo?

¡Gracias!

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Tsemo Aristide Puntos 5203

Ambas soluciones son iguales, $k$ es un número real, puede escribir $3+(-k)e^{-2x}$ .

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Studer Puntos 1050

Son idénticos. No tiene por qué esperar que $k $ de un método sea exactamente igual al otro. Si incluye una condición inicial, obtendrá la misma solución en ambos casos.

1voto

Farrukh Ataev Puntos 21

Para ver que ambos son iguales: $$-\ln|3-y|=2x+A \Rightarrow \ln|3-y|=-2x-A \Rightarrow |3-y|=e^{-2x-A} \Rightarrow |3-y|=e^{-A}e^{-2x} \Rightarrow 3-y=-Ce^{-2x} \Rightarrow y=3+Ce^{-2x}.$ $ Alternativamente (en lugar de variaciones): $$ y = y_h + y_p = Ce ^ {- 2x} + A; \\ [Ce ^ {- 2x} + A] ' +2 [Ce ^ {- 2x} + A] = 6 \ Rightarrow \\ 2A = 6 \ Rightarrow A = 3 \ Rightarrow \\ y = Ce ^ {- 2x} +3. $$

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