Buscar todas las funciones continuas$f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$

Question

Encontrar toda función continua $f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ para que $f(3)=5$ y por cada $x,y \in \mathbb R$ es verdad que $f(x+y)=2+f(x)+f(y)$.

Traté de encontrar algún dependencia antes de $x$ e $y$ porque tengo por ejemplo, $f(1+2)=2+f(1)+f(2)=5$ y, a continuación, $f(1)+f(2)=3$. Hovewer no puedo encontrar la dependencia para cada $x,y$ así que no sé cómo puedo hacer esta tarea.

También pensé en crear nueva función de $g(x)$ que es dependiente de $f(x)$ pero no tengo también una buena idea hacer esto.

Puede usted hacerme algunas sugerencias?

Answer 1

Sugerencia: con $g(x):=f(x)+2$ , tenemos $$ g(x+y)=g(x)+g(y).$ $

Answer 2

Como transformada por @Hagen von Eitzen en el Cauchy funcional de la ecuación (https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy%27s_functional_equation). La única continuo de solución de Cauchy para la ecuación funcional es $g(x)=kx$. Por lo tanto, $f(x)+2=kx$. Ahora ese $f(3)=5$ , de modo que $k=\frac{7}{3}$. Por lo tanto la función requerida es $f(x)=\frac{7}{3}x-2$.