Formalmente, definimos $\delta(\phi)=\phi(0)$ donde $\phi$ proviene de una clase adecuada de función de prueba. En base a esto, la expresión $\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x) dx$ parece completamente sin sentido y no estoy seguro de cómo atribuir el significado a las integrales que involucran a $\delta$ . Siento que me estoy perdiendo algo importante aquí, ¡ayuda!
Respuesta
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Para una función de $f\in L^1_{\text{loc}}(\Bbb R)$, que se puede asociar con la distribución de $T_f\in \mathcal D'(\Bbb R)$ dada por $$ \langle T_f, \varphi\rangle := \int_{-\infty}^\infty f(x)\varphi(x) \,dx. $$
La Dirac de distribución se define como $$ \langle \delta \varphi\rangle := \varphi(0) $$ y no está asociado con ningún $f\in L^1_{\text{loc}}(\Bbb R)$ (pero puede estar asociada con un átomo de medida). Sin embargo, algunas personas (los físicos) prefieren el abuso de la notación y escritura $$ \langle \delta \varphi\rangle =: \int_{-\infty}^\infty \delta(x)\varphi(x) \,dx $$ de todos modos, como si $\delta$ es una función. Por lo tanto, tenemos $$ \int_{-\infty}^\infty \delta(x)\,dx = \langle \delta, 1\rangle = 1. $$ Tenga en cuenta que podemos utilizar la función constante $1$ como una entrada porque $\delta$ es no sólo una distribución, pero una distribución con soporte compacto, por lo tanto actúa en cualquier $\psi\in C^\infty(\Bbb R)$.
Para agregar más detalles acerca de mi comentario final, tenemos los siguientes criterios de inclusión $$ \mathcal D \subconjunto \mathcal S \subconjunto \mathcal E $$ donde $\mathcal D$ es el espacio de la lisa y compacta admite las funciones de prueba, $\mathcal S$ el espacio de Schwartz funciones y $\mathcal E$ el espacio de las funciones lisas (cada uno con su topología adecuada). Su doble espacios pueden ser identificados con los subespacios de $\mathcal D'$, es decir, $$ \mathcal E' \subconjunto \mathcal S' \subconjunto \mathcal D' $$ donde $\mathcal E'$ es el espacio de las distribuciones con soporte compacto y $\mathcal S'$ el espacio de templado de distribuciones.
La distribución de Dirac $\delta$ pertenece a $\mathcal E'$ y, por tanto, $\mathcal S'$, que es la "correcta" espacio para hacer la transformada de Fourier. Esto es lo que @Andreas significó en su comentario acerca de $\delta$ interactuar bien con la transformada de Fourier.
