¿Es la norma$p$ alguna vez una norma para$0<p<1$?

Question

Me pregunto:

Hay una medida de espacio $(X,\Sigma,\mu)$ tal que $L^p(\mu)$ formulario de una normativa espacio w.r.t $p$-norma, para algunos $0<p<1$?(suponiendo que $X$ contiene más de punto).

Sé que, en general, el "$p$-norma" no es realmente una norma para $0<p<1$. (viola la desigualdad de triángulo). Me estoy preguntando si hay (no trivial) casos especiales donde se hace la forma de una norma.

Answer 1

Sólo para cerrar esta pregunta, me estoy extendiendo Yanko del comentario en una respuesta:

Deje $(X,\Sigma,\mu)$ ser una medida en el espacio. Supongamos que existen medibles conjuntos de $A,B$ tal que $\mu(A),\mu(B)>0$ pero $\mu(A\cap B)=0$. Set $f=1_A,g=1_B$.

A continuación, $\|f+g\|_p^p=\int_X (1_A+1_B)^p=\int_{A \cup B} (1_A+1_B)^p=\int_{A\setminus B} (1_A+1_B)^p+\int_{B\setminus A}(1_A+1_B)^p=$ $\int_{A\setminus B} 1_A+\int_{B\setminus A}1_B=\mu(A)+\mu(B)$,e $\|f\|_p=(\mu(A))^{\frac{1}{p}},\|g\|_p=(\mu(B))^{\frac{1}{p}}$.

Por lo tanto $$ \|f+g\|_p \le \|g\|_p+\|g\|_p \iff (\mu(A)+\mu(B))^{\frac{1}{p}} \le (\mu(A))^{\frac{1}{p}}+(\mu(B))^{\frac{1}{p}}$$.

Cuando $0<p<1$, tenemos $r=\frac{1}{p}>1$, e $(x+y)^r>x^r+y^r$, por lo que el triángulo de la desigualdad no se sostiene. En efecto, podemos escribir

$$ (x+y)^r=(x+y)(x+y)^{r-1}=x(x+y)^{r-1}+y(x+y)^{r-1}>xx^{r-1}+yy^{r-1}=x^r+y^r,$$ , donde en la desigualdad estricta paso hemos utilizado el hecho de $ (x+y)^{r-1}>\max\{x^{r-1},y^{r-1}\}$, es decir, el hecho de que la función $x \to x^s$ es estrictamente creciente para $s>0$.