Encuentre todos los grupos abelianos no isomorfos st$|G| \leq 30$ y$g^{12}=1, \, \forall g\in G$

Question

Asumir la factorización prima de la orden de $G$: $$ |G|=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\dots p_r^{a_r} $$ La condición $$ g^{12}=1,\, \forall g\G\etiqueta{1} $$ en otras palabras, significa que debemos buscar aquellos grupos cuyos elementos satisfacen: $$ \text{ord} (g) \big|12, \, \forall g \in G $$ Intuitivamente, se puede ver que

Condición de $(1)$ es válido para cada $g\in G$ si y sólo si cada $p_i^{a_i}$ divide $12$

, la obtención de los casos: $$ \begin{align*} &\bullet |G|=1 \longrightarrow G=\{0\} \\ &\bullet |G|=2 \longrightarrow G=\mathbb{Z_2} \\ &... \\ &\bullet|G|=24 \longrightarrow G= \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_{12}\bigg|\mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_6\bigg|\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_3 \\ \end{align*} $$ ¿Cómo puedo verificar la exactitud y demostrar la frase en negrita? Es una derivación de Cauchy teorema?

Answer 1

Usted debe comenzar un poco diferente y al final un poco diferente. Permítanme sugerir cómo hacerlo:

Primero se comienza con un número finito de grupo abelian $G$ y por lo que toma la forma

$$G=\bigoplus_{i=1}^n\mathbb{Z}/p_i^{a_i}\mathbb{Z}$$

Para algunos de los números primos $p_1,...,p_n$ (no necesariamente distintos) y números naturales $a_1,...,a_n$.

Lema: Todos los $p_i$ son $2$ o $3$. Si $p_i=2$ entonces $a_i$ es $1$ o $2$ e si $p_i=3$ entonces $a_i=1$.

Prueba: Si $p_i\not = 2,3$ a continuación, el generador de $\mathbb{Z}/p_i^{a_i}\mathbb{Z}$ es de orden $p_i^{a_i}$ pero también de orden $12=2^2\cdot 3$. Por lo tanto, de la orden de $\gcd(p_i^{a_i},12)=1$ y por lo tanto es necesariamente trivial (lo $a_i=0$). Puedo dejar el resto como un ejercicio.

Usando el Lema podemos escribir

$$G=\bigoplus_{i=1}^{n_1} \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \oplus \bigoplus_{i=1}^{n_2} \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \oplus \bigoplus_{i=1}^{n_3} \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$$

Por otra parte $|G|\leq 30$ e lo $2^{n_1}\cdot 4^{n_2}\cdot 3^{n_3}\leq 30$.

Ahora usted tiene que ejecutar a través de todas las opciones posibles de $n_1,n_2,n_3$ por que el anterior y tiene que finalizar.