Intuición del edificio para formas diferenciales, derivada exterior, cuña.

Question

Creo que me entendió 1-formas bastante bien con la ayuda de estas dos fuentes. Son duales a los vectores, por lo que la medida de ellos que puede ser visualizado con los planos de los vectores de pierce.

• La gravitación de 1973
• En la Visualización de Formas Diferenciales - Dan Piponi

Pero lucho con las explicaciones de orden superior de los formularios.

El objetivo es responder y comprender estas preguntas con dibujos:

1. ¿Cómo puedo visualizar la brecha entre los dos 1-formas $\alpha\wedge\beta$? Creo que he entendido la cuña entre dos vectores, como el paralelogramo creado por los dos en una "zona de sentido". El determinante viene a hacer es sólo acerca de la zona, que es la razón por la $v\wedge w = \frac{1}{2}v\wedge 2w$ desde el estiramiento de la paralelogramo por dos en el w de la dirección es compensada por aplastando en la v dirección, por lo que el área permanece constante. Por lo que la brecha entre los dos vectores es el área que se extiende con sus vectores. Pero, ¿cómo que se traduce en el doble de espacio? Donde 1-formas de medir la longitud de la componente de su vector dual. Y puede ser visualizada como los planos de los vectores de perforar a través de. ¿Qué es la visualización entre dos de estos 1-formas como una cuña?

La gravitación tiene esta imagen:

Dan-Piponi dibujó como este:

Ahora estas fotos a dar sentido a medida que se generan por la intersección de las 1-formas. Pero no estoy consiguiendo cómo el resultado se evalúa. El resultado (2) se debe asignar dos vectores como entrada a un número. Y no veo cómo estas intersecciones hacer eso. Mientras que para 1-formas de contar el número de planos de un vector traspasado.

2. ¿Por qué tiene sentido que $d(d\alpha))=0$ para cada diferencial de la forma $\alpha$
3. ¿Qué Dan Piponi decir: "el exterior derivado no es otra que la de encontrar el límite de la imagen" (4 Exterior Derivados)
4. Comprender la parte 5 sobre el teorema de stokes, desde Dan Piponi del papel

Nota: yo tal vez debería añadir que no tengo de fondo en la física, por lo que yo no entiendo mucho de las cosas de la Gravitación. Sólo traté de leerlo después de que yo no podía entender de otra fuente, ya que fue allí citada.

Preguntas similares:

• ¿Cuál es la geométrica, la intuición detrás de formas diferenciales?
• Geométricas comprensión de formas diferenciales.
• La Visualización Exterior De Derivados

Answer 1

1. ¿Cómo puedo visualizar la brecha entre los dos 1-formas α∧β?

En primer lugar, debemos entender lo que la cuña en realidad tiene. En su caso se crea un nuevo anti-simétrica del tensor (creo determinante) de orden 2. Una 2-forma es una cosa que tomar dos vectores y devolver un escalar. Si, por ejemplo, podemos conectar un vector en una 1-forma obtenemos un número. También sabemos que las formas son un multi-lineal, por lo tanto, podemos sacar todos los factores y solicitar el formulario en cada base de vectores de forma individual. En la práctica, una 1-forma sólo los proyectos de un vector y las medidas de la longitud de la proyección. Después de esto, una 2-forma puede ser visualizado como una cosa que tomar primero un vector y se convierte en una 1-forma.

Pero, ¿cómo que se traduce en el doble de espacio? ¿Qué es la visualización entre dos de estos 1-formas como una cuña?

Digamos que estamos en $\Lambda(\mathbb{R}^3)$, su 2-vector $a \wedge b$ puede ser pensado como algo con la magnitud de la cerrada paralelogramo de $a,b$ y un adicional de otra ruta de la propiedad de la orientación. Estas dos propiedades se calculan a través de la 2-forma y devolver un número. Usted podría tener la impresión de que esto se ve muy similar a la de la integración, y estaría en lo correcto. La forma en que escala y cómo se calculan los vectores es exactamente cómo la integración de las obras.

2. ¿Por qué tiene sentido que $d(d\alpha))=0$ para cada diferencial de la forma $\alpha$

Sabemos que el exterior derivado $d$ tomar una (n-1)-forma a una n-forma. Desde un formulario también está lleno de anti-simétrica combinamos eso con el Schwarz integrabilidad condición, que la segunda derivados son simétricas y llegar a declaraciones como las que div(rot$ a$) $= 0$ o rot(grad $\phi$)$ = 0$. Esto es sólo la declaración general.

3. ¿Qué Dan Piponi decir: "el exterior derivado no es otra que la de encontrar el límite de la imagen" (4 Exterior Derivados)

Nos permiten operar en $\Omega (\mathbb{R^3})$ y la mirada en el objeto \begin{eqnarray} \phi &=& x_1+x_2+x_3\\ d\phi &=& \frac{\partial \phi}{\partial x_1}dx^1+\frac{\partial \phi}{\partial x_2}dx^2+\frac{\partial \phi}{\partial x_3}dx^3\\ d\phi &=& dx^1+dx^2+dx^3\\ \end{eqnarray} Sobre lo del límite de hacer que usted necesita para integrar a $d\phi$ para recuperar la información de $\phi$?