Necesito ayuda con la prueba {necesaria para mi algoritmo}

Question

Yo no soy de pura matemática de fondo. Estoy trabajando en un algoritmo que funciona bien para todos los motivos de práctica basa en el siguiente supuesto.

que, si ab = cd y a+b = c+d entonces, ya sea a = c y b = d o a = d y b = c. donde, $a,b,c,d$ $\in$ $\mathbb{Z}$

No estoy seguro de si esto es verdad, en todas las condiciones, pero si alguien puede proporcionar la prueba, ¿por qué ?

Gracias de antemano.

Además -1 : Es esto también es cierto para el par de N números ?

Además -2 (Respuesta para el de arriba) - Yo creo que lo tengo, @saulspatz de la prueba puede ser generalizada (ya suficiente), podemos decir,

Después de la prueba, ya que, $a = c $ & $b = d$ entonces, diciendo: $b = b1 + b2$ e $c = c1 + c2$ prueba puede ser más generalizado para la adición y la multiplicación de par de $N$ a dichos números.

$a1, a2,...aN \in \mathbb{Z}$

$b1, b2,....bN \in \mathbb{Z} $

Answer 1

Solo una idea: si $$a+b=c+d$ $ lo conseguimos al cuadrar $$a^2+b^2=c^2+d^2$$ since $$ab=cd$ $ para que obtengamos $$a^2-c^2=d^2-b^2$$ or $$a^2-d^2=b^2-c^2$ $

Answer 2

Deje $a+b=n=c+d$. Entonces $$ab=cd\implies a(n-a)=c(n-c)$$ so that $$an-a^2=cn-c^2,$$ or$$(a-c)n=a^2-c^2=(a-c)(a+c)$$

Cualquiera de las $a-c,$ y hemos terminado, o $a-c\ne 0$ por lo que podemos cancelar la $a-c$ conseguir $$n=a+c$$

Junto con $n=aa+b$ esto da $b=c.$

En resumen, tu suposición es correcta.

Answer 3

Esto es verdad.

En general, $r$ y $s$ son las dos raíces de la ecuación cuadrática $$ x ^ 2 - (r + s) x + rs = (xr) (xs). $$ por lo que conocer la suma y el producto determina los valores (hasta intercambiarlos).

Answer 4

Deje $\exists \delta_1, \delta_2 \in \mathbb{Z}$ tal que $c = a + \delta_1, d = b + \delta_2$ e $(\delta_1,\delta_2) \neq (0,0)$. Sin embargo a partir de $a+b=c+d$ se sigue que $\delta_1 = -\delta_2$. Ahora $ab = cd = (a+\delta_1)(b-\delta_1)$, a continuación, $\delta_1^2 + (a-b)\delta_1 = \delta_1(\delta_1+a-b) = 0$. Desde que asumió $\delta_1 \neq 0$ se sigue que $\delta_1 = b-a$, sin embargo a continuación se obtienen $c = b, d=a$. Por lo tanto necesariamente se tiene que de las restricciones dadas cualquiera de las $(a,b) = (c,d)$ que corresponde a $\delta_1 = 0$o $(a,b)=(d,c)$ que corresponde a $\delta_1 = b-a$. Tenga en cuenta que esto es cierto para $a,b,c,d \in \mathbb{R}$.

Editar: Desde la pregunta original fue ampliada a través de una edición, voy a tratar de que también. Si usted tiene más variables que necesitan más ecuaciones, por ejemplo: $$a,b,c,d,e,f \in \mathbb{R}$$ $$a+b+c = d+e+f$$ $$ab + bc + ac = de + ef + df$$ $$abc=def$$