Supongamos que $a, b\in G$ tal que $\lvert a\rvert$ es impar y $aba^{-1}=b^{-1}$ . Demostrar que $b^2=e$ .

Question

Estoy leyendo "Álgebra abstracta contemporánea". por Gallian .

Este es el ejercicio 4.30.

Supongamos que $a$ y $b$ pertenecen a un grupo, $a$ tiene orden de impar, y $aba^{-1}=b^{-1}$ . Demostrar que $b^2=e$ .

Mi intento:

Dejemos que $\lvert a\rvert=2n+1$ , $n\in\Bbb N\cup\{0\}$ .

Tenemos $$\begin{align} b&=(b^{-1})^{-1} \\ &=(aba^{-1})^{-1} \\ &=ab^{-1}a^{-1}, \end{align}$$

así que, por inducción, $b=a(\underbrace{aba^{-1}}_{=b^{-1}})a^{-1}=\dots =a^{2n}ba^{-2n}$ para que

$$\begin{align} b&=a^{2n}ba^{-2n} \\ &=a^{2n}(ab^{-1}a^{-1})a^{-2n} \\ &=a^{2n+1}b^{-1}a^{-(2n+1)} \\ &=b^{-1}, \end{align}$$

así que $b=b^{-1}$ , es decir , $b^2=e$ . $\square$

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¿Está bien la prueba anterior? Creo que sí.

Sin embargo, Me interesaría ver cómo las propiedades de Grupos Baumslag-Solitar podría utilizarse aquí, ya que $aba^{-1}=b^{-1}$ los trae a la mente.

Answer 1

Su prueba está bien. Aquí hay una alternativa usando un poco más de teoría de grupos.

Dejemos que $G$ denota el subgrupo generado por $a$ y $b$ . Sea $H \cong \mathbb{Z}_n$ sea el subgrupo de $G$ generado por $b$ . Desde $aba^{-1}=b^{-1}$ se deduce que $H$ es normal $G$ . El cociente $G/H$ debe ser isomorfo a $\mathbb{Z}_m$ para algunos impar $m$ ya que la imagen de $a$ bajo el mapa $G \rightarrow G/H$ se corresponde con un generador de $G/H$ y $a$ tiene orden de impar. La acción de conjugación de $a$ en $H$ por lo que da lugar a un homomorfismo $$ \mathbb{Z}_m \rightarrow \mathrm{Aut}(H): 1 \mapsto \varphi=( b \mapsto aba^{-1}=b^{-1}) $$

Tenga en cuenta que $\varphi$ es trivial o de orden dos. Como $m\varphi =0$ para $m$ impar, se deduce que $\varphi$ es trivial. Por lo tanto, $b=b^{-1}$ es decir $b^2=e$ .