Convergencia de la función de covarianza de Matérn a la exponencial cuadrada

Question

La función de covarianza Matérn converge a la función de covarianza exponencial al cuadrado exponencial al cuadrado.

Muchas fuentes, entre ellas el Libro GPML y Wikipedia , afirman este resultado. Ninguno de ellos proporciona detalles.

Busco referencias que aporten detalles y una prueba. En particular, me pregunto sobre el tipo de convergencia.

Answer 1

La función Matérn puede escribirse en términos de

$$f_{\nu}(x) = C_\nu |x|^{\nu} K_{\nu}\left(|x|\right)\tag{*}$$

donde $C_\nu$ es una constante de normalización (para que el valor de $f_\nu(0)$ igual a $1$ ) y $x = \sqrt{2\nu}\, d/\rho.$

(Esto coincide con el La notación de Wikipedia donde $x$ representa $\sqrt{2\nu} d/\rho.$ )

Como se muestra en Función generadora de momentos del producto interior de dos vectores aleatorios gaussianos (utilizando técnicas elementales),

la función Matern es proporcional a la función de densidad de la distribución del producto de puntos de dos vectores aleatorios donde cada uno tiene $2\nu+1$ componentes y todos los componentes se distribuyen independientemente como variables normales estándar.

Dicho producto interno es la suma de los $2\nu+1$ productos independientes e idénticamente distribuidos de los componentes correspondientes de los vectores. Cada uno de ellos es el producto de dos variables normales independientes $X$ y $Y$ y por lo tanto tiene media $0$ y la varianza

$$\operatorname{Var}(XY) = E[(XY)^2] = E[X^2]E[Y^2] = (1)(1) = 1.$$

En consecuencia, el producto interior tiene media $(2\nu+1)(0) = 0$ y la varianza $(2\nu+1)(1)=2\nu+1.$

El Teorema del límite central afirma que las versiones normalizadas de estos productos internos se aproximan, por tanto, a una distribución Normal estándar con casi total seguridad. El efecto de la normalización es sustituir $x$ por la raíz cuadrada de su varianza, $x\sqrt{2\nu+1},$ que cambia el elemento de probabilidad $f_{\nu}(x)\mathrm{d}x$ por

$$f_{\nu}(x\sqrt{2\nu+1})\mathrm{d}(x\sqrt{2\nu+1}) = \sqrt{2\nu+1} f_{\nu}(x\sqrt{2\nu+1})\mathrm{d}x.$$

Esto difiere de $(*)$ (donde podemos tomar $\rho=1$ sin pérdida de generalidad, porque se limita a establecer la unidad de medida de la distancia) sólo en la medida en que $x$ se multiplica por $\sqrt{2\nu+1}$ en lugar de $\sqrt{2\nu}.$ Como la relación de estos términos se aproxima a la unidad, en el límite da igual cuál se utilice. En consecuencia, la convergencia es casi segura.

Un pequeño detalle es que porque $f_\nu$ se normaliza para tener una altura de pico de $1,$ que es $\sqrt{2\pi}$ veces la altura del pico de la densidad normal estándar, la convergencia es a $\sqrt{2\pi}$ veces la densidad normal estándar en lugar de la propia densidad. Reintroducir el factor de escala $\rho$ hemos deducido, con un pensamiento puramente estadístico, que

$$\lim_{\nu\to\infty} f_\nu(d) = \exp\left(-\frac{d^2}{2\rho^2}\right)$$ casi seguro.

Esto coincide con lo que Wikipedia afirma .

Este diagrama muestra los gráficos de $f_2$ (azul), $f_5$ (rojo), y la gaussiana limitante (oro). La convergencia se produce al tirar de la cola para rellenar el pico.