¿Por qué no simplificaron$x^y=y^x$ a$x=y$?

Question

La solución de $x^y = y^x$ analíticamente en términos de Lambert $W$ función

Esta "solución" para $x^y=y^x$ debe simplificar a $y=x$, pero por alguna razón no se los señaló en la OP.

De acuerdo con el intercambio de la pila, la respuesta es $y= \frac{-xW(-\frac{ln(x)}{x})}{ln(x)}$. Sin embargo, el término $\frac{-ln(x)}{x}$ sí puede escribirse como

$$\frac{-ln(x)}{x}=-ln(x)e^{-ln(x)}$$

Por lo tanto, la productlog de que la expresión debe simplificar de la siguiente manera,

$y= \frac{-xW(-\frac{ln(x)}{x})}{ln(x)}, \ \ \ \ \ $ $y= \frac{-xW(-ln(x)e^{-ln(x)})}{ln(x)}, \ \ \ \ \ $ $y=\frac{-x(-ln(x))}{ln(x)}=x$

Hizo esta simplificación sólo escapan a todo el mundo o es que hay algo malo sobre mi álgebra?

Answer 1

El Lambert $W$ función no es de valor único para los argumentos negativos.

Usando su "simplificación" de las fuerzas de uso de la rama inferior, $W \leq -1$ cuando se supone $W^{-1}(-\ln x)$ sólo es igual a $-\ln (x) \mathrm{e}^{- \ln x}$. (Lo mismo que sucede cuando usted asume sólo la raíz cuadrada de $3^2$ es $3$ o el sólo arcoseno de $1$ es $-3\pi/2$.) Usted obtener dos valores de $W^{-1}(-\ln x)$ tener la misma forma algebraica, pero uno ha $0 < x \leq \mathrm{e}$ y, $x > \mathrm{e}$. ("$3^2$" y "$(-3)^2$" tienen la misma forma algebraica, "$x^2$", pero uno ha $x>0$ y, $x < 0$.)

Esto se indica de forma explícita en las identidades en el Lambert $W$ función de artículo en la Wikipedia en inglés.

Edit: puse dio la vuelta con demasiados signos menos. Yo alegó, el $x=y$ soluciones estaban en $W \geq -1$, pero esto es al revés. Se corrigió anteriormente.

Answer 2

La solución es:

$$y = -\frac{x W\left(-\frac{\log (x)}{x}\right)}{\log (x)}$$

que tiene la siguiente forma:

Es evidente que hay otras soluciones, además de a$x = y$. De hecho, vemos que para $y=2$ podemos tener $x=2$ o $x=4$ (intersección entre el azul y el rojo de línea discontinua).