Probando$|A^A|=|2^A|$ para infinito$A$.

Question

Posible duplicado:
Poder cardinal$\kappa^\kappa$. ¿Cuándo es igual a$2^\kappa$?

¿Cómo se puede demostrar que$|A^A|=|2^A|$ para infinito$A$? (un resumen de la prueba o proporcionar un enlace con la prueba también será suficiente). ¡Gracias!

Answer 1

Tenemos$|2^A|\leq |A^A|$ y por el teorema de Cantor-Bernstein estamos reducidos para mostrar que$|A^A|\leq |2^A|$. Para ver eso, utilizamos el hecho de que$|A\times A|=|A|$, aplicando el lema Zorn a$S:=\{(B,f), B\subset A, f\colon B\times B\to B\}$ con la orden parcial$(B_1,f_1)\leq (B_2,f_2)$ si$B_1\subset B_2$ y$f_{2\mid B_1}=f_1$. También tenemos$$|2^A|=|2^{A\times A}|=|(2^A)^A|$ $ que da lo que queríamos.