¿Hay una solución general para:
$A x''+ B x' + C \mathop{\rm sgn}(x')+ D x=0$ donde$\mathop{\rm sgn}(x')$ es el signo de$x'$
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Matthew Scouten
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La solución va a satisfacer $A x'' + B x' + C + D x = 0$ en los intervalos donde $x' > 0$ $A x'' + B x' - C + D x = 0$ en los intervalos donde $x' < 0$. Si $B^2 - 4 A D > 0$, por ejemplo (la overdamped caso), la solución de $A x'' + B x' + C + D x = 0$ son de la forma $x = c_1 e^{\lambda_1 t} + c_2 e^{\lambda_2 t} - C/D$ arbitrarias de las constantes de $c_1$ $c_2$ donde $\lambda_i$ son las raíces de la ecuación cuadrática $A \lambda^2 + B \lambda + D$. A continuación, $x' = c_1 \lambda_1 e^{\lambda_1 t} + c_2 \lambda_2 e^{\lambda_2 t} = 0\ $ $t = \ln(-c_1 \lambda_1/(c_2 \lambda_2))/(\lambda_2 - \lambda_1)\ $ en el caso de que $c_1 \lambda_1/(c_2 \lambda_2) < 0$, o nunca si $c_1 \lambda_1/(c_2 \lambda_2) > 0$. Así pues, tenemos soluciones que son monótonas soluciones de $A x'' + B x' + C + D x = 0$ o de $A x'' + B x' - C + D x = 0$, o trozos de soluciones (una solución de una de estas ecuaciones en un intervalo y una solución de la otra ecuación en su complemento, que se unió a un punto donde $x' = 0$ (en ambos lados). En el underdamped caso, las cosas pueden ser más complicadas, porque vamos a tener un número infinito de intervalos.
Rod Carvalho
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1939
La EDO que ha presentado se denomina sistema dinámico afín por partes (PWA) en la comunidad de la teoría de control. En particular, ya que usó la función signum , lo que tiene es un sistema de retroalimentación de relé . Estos modelos son bastante comunes en la ingeniería eléctrica (de ahí la palabra "relé"), pero parecen ser inmunes al análisis, un cementerio de teorías, por así decirlo.
