Existe una adecuada subgrupo $H$ $(\mathbb{R},+)$ tal que $[\mathbb{R}:H]$ es finito?

Question

Me gustaría saber si hay una adecuada subgrupo $H$ $(\mathbb{R},+)$ tal que $[\mathbb{R}:H]$ es finito. Sé que si recojo $\mathbb{Z}$, $[\mathbb{R}:\mathbb{Z}]$ es infinito.

Gracias por su ayuda!

Answer 1

Esta observación está implícita en la otra respuesta.

Deje $A$ ser un dominio que no es un campo, y deje $M$ ser un finitely generado divisible $A$-módulo. A continuación,$M=0$.

Supongamos por contradicción $M\neq0$, y deje $N$ ser una máxima adecuada submódulo de $M$. Existe debido a $M$ es distinto de cero y finitely generado. A continuación, $S:=M/N$ es isomorfo a $A/\mathfrak m$ donde $\mathfrak m$ es un ideal maximal de a $A$. Como $A$, no es un campo, $\mathfrak m$ contiene un elemento distinto de cero $a$, y tenemos:

$\bullet\ $ $0\neq S=aS$, debido a $S$ es divisible y $a$ es distinto de cero,

$\bullet\ $ $aS=0$, debido a $a$$\mathfrak m$.