Valores característicos del operador lineal.

Question

Sea $V$ sea el espacio de $n\times n$ matrices sobre $\mathbb F$ . Sea $A$ sea un valor fijo $n\times n$ matriz. Sea $T$ sea un operador lineal sobre $V$ definido por $T(B)=AB$ para todos $B$ . ¿Es cierto que $A$ y $T$ tienen los mismos valores característicos?

Answer 1

Supongamos que $\lambda \in \mathbb F$ (wlog algebraicamente cerrado) es un valor característico de $T$ . Entonces $AB =\lambda B$ para algunos $B\not=0$ es decir $$(A-\lambda I ) B = 0 \tag{*}.$$ Si $\det (A -\lambda I) =0$ entonces $\lambda$ es un valor característico de $A$ . En caso contrario, la matriz $C =(A-\lambda I)$ es invertible, por lo que podemos multiplicar por la izquierda $(*)$ por $C^{-1}$ y concluye que $B= 0$ Así que $B$ no era un vector propio - contradicción. Así que todos los valores característicos de $T$ son valores característicos de $A$ .

En sentido contrario, consideremos la acción de $T$ en la matriz $B= (v_1,\cdots, v_n)$ ( $v_k$ son vectores [columna] de $V$ ) $$T (v_1,\cdots, v_n) = ( Av_1,\cdots, Av_n). \tag{**}$$ En $v_1$ como vector propio de $A$ todos los demás $v_k =0$ vemos que los valores característicos de $A$ son valores característicos de $T$ .

Nota: esto podría decirse en términos de módulos sobre el anillo $\mathbb F [x]$ y el isomorfismo de módulo implícito en $(**)$ .

Edita: Después del hecho, la ecuación $(**)$ es obviamente suficiente para ver que los valores característicos de $T$ y $A$ son idénticos - no se necesita la primera parte del argumento, ya que si $\lambda$ es un valor característico de $T$ la ecuación $(**)$ también lo exhibe como valores característicos de $A$ como al menos uno de los $v_k$ debe ser distinto de cero.