¿Cómo puede el estabilizador de un elemento de grupo tener más de un elemento?

Question

Sospecho que he entendido mal el concepto de un estabilizador.

Tome un grupo$G$ y algunos$g \in G$. Ahora considere$s_1, s_2 \in Stab(g)$. El estabilizador se define de manera tal que$s_1 g = s_2 g = g$, pero si operamos a la derecha con$g^{-1}$, obtenemos$s_1 = s_2 = e$ donde$e$ es la identidad. Por lo tanto$Stab(g) = \{e\}$.

Claramente, esto no es correcto, así que sospecho que no he entendido bien el concepto. ¿Qué hice mal?

Answer 1

El problema es que$g^{-1}g$ no es necesariamente$e$! La acción de$G$ en sí misma puede ser muy diferente de la ley de grupo (piense en la conjugación, por ejemplo: en este caso,$g^{-1}.g=g^{-1}gg=g\neq e$ en general).

Answer 2

El estabilizador está asociada con un grupo de acción. Las acciones no están garantizados para tener la recíproca, de modo que actúa sobre el derecho al $g^{-1}$ es absurdo.

En general, dado un cierto grupo $G$ que actúa sobre un conjunto $X$, el estabilizador es los elementos de $G$ que actuar como la identidad en $X$. Considere la posibilidad de la acción dado por $h\mapsto ghg^{-1}$ (conjugación por $g$). Este va a ser invariantes bajo la acción de la si $ghg^{-1}=h$ o si $gh=hg$, por lo que si $g$ viajes con $h$. De ello se deduce que el centro de la $G$ estabiliza la acción anterior.

Answer 3

Puede hablar sobre el estabilizador de un elemento de$G$ si hay un grupo$H$ que actúa sobre$G$. Si$G\times S\longrightarrow S$ es una acción de$G$, el estabilizador de un elemento$s\in S$ es el subgrupo$$G_{s}=\{g\in G:gs=s\}. Cuando$S$ es un grupo, entonces$gs=s$ implica$g=1_{G}$.