Problema de medición de la función de distribución de la muestra de un contiuum de variable aleatoria independiente

Question

Deje $I = [0,1]$ ser el índice de un contiuum de yo.yo.d variables aleatorias. Para cada una de las $t \in I$, el espacio muestral de $X_t$ $\Bbb R$ equipada con Borel $\sigma$-álgebra y Borel probabilidad de medir. Mediante la prueba de Kolmogorov extensión del teorema, tenemos una única medida de probabilidad sobre el espacio muestral $\Omega = {\Bbb R}^{I}$.

Específicamente, para cada uno de Lebesgue medibles subconjunto de $\Bbb R$, $A$, tenemos $A^t = \{\omega \in \Omega: \omega(t) = A\}$. A continuación, todos los conjuntos de la forma $A_t$ constituyen un $\pi$-sistema que genera la $\sigma$-álgebra de $\Omega$,, $\mathscr{F}$. La medida de $\mu$ $\Omega$ debe ser coherente con finito dimensional de las distribuciones en el sentido de que: $$\mu(A^t) = m(A)$$ $$\mu(\bigcap_{1 \leq i \leq n}A^{t_i}) = \prod_{1 \leq i \leq n} \mu(A^{t_i})$$ La asignación de $i \mapsto t_i$ es de uno-a-uno para cada $n$.$(\omega, \mathscr{F}, \mu)$ deseada es la probabilidad de espacio.

Para cada una de las $c \in \Bbb R$, la muestra de la función de distribución de $F_{\omega}(\cdot)$ se define como: $$F_{\omega}(c) = l(\{ t \in I: X_t(\omega) \leq c\})$$ $l$ es el lesbesgue medida.

En Judd(1985)(Paywall necesario), en $\sf {ZFC}$, $\omega_c = \{t \in I: X_t(\omega) \leq c\}$ podría ser que no se pueden medir, por lo tanto $F_{\omega}(c)$ también podría ser que no se pueden medir.

Aquí la captura de pantalla del teorema:

$\mu^{\ast}(N)$ $\mu_{\ast}(N)$ interior y exterior de las medidas de $N$ respectivamente.

Pregunta: ¿Qué significa "cualquier conjunto de Borel es restringido en la mayoría de un contable de los índices" en la Quinta línea de la prueba?

Answer 1

Un hecho general de la teoría de la medida es que si $X$ es un conjunto y $\mathcal{F}$ una familia de subconjuntos de e $B\in\sigma(\mathcal{F})$, entonces existe una contables de la subfamilia $\mathcal{C}\subseteq\mathcal{F}$ tal que $B\in\sigma(\mathcal{C})$. Para probar esto, uno sólo tiene que comprobar que los conjuntos con esta forma de propiedad de un $\sigma$-álgebra que contiene todos los elementos de a $\mathcal{F}$. Aplica al producto de los espacios, si un conjunto es el producto-$\sigma$-álgebra, entonces es generado por countably muchos de coordenadas de las proyecciones.

Para un moderno cuenta de que el problema Judd discute, véase la introducción de Podczeck, Sobre la existencia de ricos Fubini extensiones (paywall). El problema era conocido por bastante tiempo antes de que Judd. Doob ya se ha mencionado que la muestra realizaciones suele ser que no se pueden medir. En el papel Zur Gleichwertigkeit zweier Arten der Randomisierung de 1974, von Weizsäcker ha Judd prueba como un paso en la prueba de su principal teorema.

Véase también la discusión relacionada con el en Mathoverflow.

Answer 2

Podemos verificar que el$\sigma$ - álgebra generada por el$A_t$ consiste en los conjuntos de la forma$\{\omega\in\Omega\mid (\omega(t_j),j\geqslant 1)\in B\}$, donde$(t_j,j\geqslant 1)$ es una secuencia de números reales, y$B$ a subconjuntos de Borel de$\mathbb R^{\infty}$, el conjunto de secuencias de números reales dotados con el producto Borel$\sigma$ - álgebra.

La principal dificultad aquí es demostrar que esta colección está cerrada bajo uniones contables.