Muestre, mediante el método vectorial, que el ángulo entre cualquier borde y una cara que no contenga el borde es$\arccos(\frac{1}{\sqrt3})$

Question

Deje $k$ ser la longitud de cualquier arista de un tetraedro regular.Demostrar que el ángulo entre cualquier arista y una cara que no contiene el borde es $\arccos(\frac{1}{\sqrt3})$.

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Deje que el tetraedro regular se $OABC$.Deje $O$ ser el origen y la posición de los vectores de $A,B,C$$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$.

Vamos a encontrar el ángulo entre la cara $OAB$ y el borde de la $OC$.El ángulo entre el plano y la línea a se encuentra encontrando el ángulo entre la normal al plano y a la línea.

El avión $OAB$ es generado por los vectores $\vec{a}$$\vec{b}$.Para su normal está dado por $\vec{a}\times\vec{b}$.Y el borde de la $OC$$\vec{c}$.
Deje $\theta$ ser el ángulo entre la cara de $OAB$$OC$.Así que el ángulo entre la normal a la cara de $OAB$ $OC$ $\frac{\pi}{2}-\theta$
$\cos(\frac{\pi}{2}-\theta)=\frac{(\vec{a}\times\vec{b}).\vec{c}}{|\vec{a}\times\vec{b}||\vec{c}|}$
$\sin\theta=\frac{(\vec{a}\times\vec{b}).\vec{c}}{|\vec{a}||\vec{b}||\vec{c}|\sin\frac{\pi}{3}}$

Estoy atascado aquí y no podía resolver más.Por favor me ayude.Gracias.

Answer 1

Usando su idea, deje que$\theta$ sea el ángulo entre la cara$OAB$ y$OC$. Entonces, el ángulo entre el$\vec a\times\vec b$ y$OC$ normal es o bien$\frac{\pi}{2}\pm\theta$. Entonces tenemos

$$\cos\left(\frac{\pi}{2}\pm\theta\right)=\frac{(\vec{a}\times\vec{b})\cdot \vec{c}}{|\vec{a}\times\vec{b}||\vec{c}|}\ ,$ $ ie$$\mp\sin\theta=\frac{(\vec{a}\times\vec{b})\cdot \vec{c}}{|\vec{a}||\vec{b}||\vec{c}|\sin\frac{\pi}{3}}$ $

Entonces, podemos tener$$|\sin\theta|=\frac{\frac 16|(\vec{a}\times\vec{b})\cdot \vec{c}|}{\frac 16|\vec{a}||\vec{b}||\vec{c}|\sin\frac{\pi}{3}}$ $

Como el numerador de la RHS es igual al volumen del tetraedro (¿por qué?), Tenemos$$|\sin\theta|=\frac{\frac{\sqrt 2}{12}k^3}{\frac 16k^3\sin\frac{\pi}{3}}=\frac{\sqrt 2}{\sqrt 3}.$ $ Luego,$\cos\theta=\frac{1}{\sqrt 3}$ se deduce de esto.

Answer 2

En primer lugar, tenga en cuenta que$\vec{OC}$ corta hasta el punto medio de$AB$ cuando se proyecta en$OAB$.

Ahora, deje que$\theta$ sea el ángulo entre$\vec{OC}$ y el$OAB$. Entonces,

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