Localización e ideales primos

Question

Si $A$ es un anillo y $S=\{1,f,f^2,f^3,...\}$ un conjunto multiplicativo de $A$ , demuestre que $\mathrm{Spec}(A_f)=\mathfrak{V}((f))^c$ .

Notación: $A_f=S^{-1}A$ y $\mathfrak{V}((f))=\{P \in \mathrm{Spec}(A): P \supset (f)\}$

Mi intento:

Por un lado, si $P \in \mathrm{Spec}(A)$ y $P \cap S$ está vacío, entonces identificamos $\mathrm{Spec}(A_f)=\mathrm{Spec}(S^{-1}A)=\{P \in \mathrm{Spec}(A): P\cap S= \emptyset\}$ .

Por otro lado, $\mathfrak{V}((f))^c=\{P \in \mathrm{Spec}(A): P \nsupseteq (f)\}$ .

Así que el ejercicio es equivalente a probar: $$\{P \in \mathrm{Spec}(A): P\cap S =\emptyset\}=\{P \in \mathrm{Spec}(A): P \nsupseteq (f)\},$$ pero no puedo continuar así que agradecería que alguien me ayudara.

Gracias de antemano.

Answer 1

Si $P\cap S=\emptyset$ entonces $P\not\supseteq (f)$ y a la inversa, si $P\cap S\neq \emptyset$ entonces existe $n\in \mathbb{N}$ tal que $f^n\in P$ . Desde $P$ es un ideal primo, esto implica que $f\in P$ y $P\supseteq (f)$ .

Moraleja: ¡no olvides utilizar la definición de "primo" en "ideal primo" cuando establezcas las propiedades del espectro! Es esencial porque, al fin y al cabo, el espectro es el conjunto de todos los ideales primos.

Espero que esto ayude.

Answer 2

Si $P \in \operatorname{Spec}(A)$ y $P \cap S$ está vacío, entonces $P \nsupseteq (f)$ desde $f \not\in P$ .

Si $P \in \operatorname{Spec}(A)$ y $P \cap S$ es no vacía, entonces $f^i \in P$ para algunos $i$ . Utilice el hecho de que $P$ es un ideal primo para concluir $i \geq 1$ y luego $f \in P$ .