Producto cuadrado perfecto entre 17 enteros.

Question

El uso de encasillar a principio de demostrar que:
a) entre el 17 de enteros positivos únicamente compuesto de factores primos 2,3,5,7 producto de dos de ellos es un cuadrado perfecto
b) entre 49 enteros positivos únicamente compuesto de factores primos 2,3,5,7 producto de cuatro de ellos está la 4ta potencia de un número entero positivo.

Por favor, juez de mi solución para la parte a: porque tenemos más de 2 números y por lo tanto más de 2 poderes diferentes para cada uno de los prime en cada número,así que sin duda hay al menos 2 impar o 2 incluso de los poderes de cada una de las prime en 17 de los números,de modo que el producto de dichos números es sin duda un cuadrado perfecto.
Por cierto,yo no tengo la solución para la parte b.

Answer 1

Solución b): Para una solución vamos a utilizar una). Dicen que un par de números de $x,y$ es bueno si su producto es un cuadrado perfecto.

De $49$ números de tomar cualquier $17$ números, entonces tenemos un buen par $a_1,a_2$ entre ellos.

Ahora desde el resto de la $47$ números de tomar cualquier $17$ números, entonces tenemos un buen par $a_3,a_4$ entre ellos.

Ahora desde el resto de la $45$ números de tomar cualquier $17$ números, entonces tenemos un buen par $a_5,a_6$ entre ellos.

y así sucesivamente. Repetimos este proceso hasta conseguir el último buen par $a_{33},a_{34}$ (y estamos a la izquierda ingenio $15$ números de modo que no podemos repetir el proceso).

Ahora calcular sus productos $b_i:=a_{2i-1}a_{2i}$. Así que tenemos $17$ cuadrados perfectos $b_1,b_2,...b_{17}$. Cada una de las $b_i$ podemos escribir como este

$$b_i = 4^x 9^y 25^z 49^t$$

De nuevo tenemos que asignar a cada uno de $b_i$ $4$-tupla $(x',y',z',t')$ donde $w'$ es el resto de $w$ modulo $2$. De nuevo las dos de la $b_i$ debe tener el mismo $4$-tupla, ya que contamos con $17$ números y sólo $16$ $4$-tuplas. Por lo tanto, su producto es perfecto $4$-potencia.

Answer 2

Para una)

Vamos a $M$ el conjunto de ese $17$ números y hacer un mapa de $\phi : M\to \mathbb{Z}_2^4$ de manera tal que cada una de las $$2^a3^b5^c7^d \mapsto (a_{\pmod 2}, b_{\pmod 2}, c_{\pmod 2}, d_{\pmod 2})$$ Entonces a partir de la $|\mathbb{Z}_2^4|=16$ tenemos $m\ne n$ tal que $\phi (m) =\phi (n)$, lo $m\cdot n $ es un cuadrado perfecto.

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Así que asignar a cada número $2^a3^b5^c7^d$ $M$ $4$- tupla $(a',b',c',d')$ donde $x'$ $0$ si $x$ es incluso y $1$ si $x$ es impar, para cada una de las $x\in\{a,b,c,d\}$. Ahora, dado que el número de todos los $4$-tuplas es $16$ y tenemos $17$ números, dos de ellos deben tener el mismo $4$-tupla y, por tanto, su producto es un cuadrado perfecto.

Answer 3

Este enfoque no es diferente de las demás propuestas, pero yo quería ilustrar un punto que puede ayudar a que usted se exprese.

El punto es que podemos comenzar con una definición, y si somos claros en que, otras cosas caen más fácilmente en su lugar.

Así que si $n=2^a3^b5^c7^d$ definimos la firma de $n$ $(a, b, c, d) \bmod 2$ lo que significa que cada entrada en la firma es $0$ o $1$ dependiendo de si cada uno de $a, b, c, d$ respectivamente, pares o impares.

Hay dieciséis $(2^4)$ posible de firmas, por lo que entre los diecisiete números de dos de las firmas debe ser igual. Cuando se multiplican dos números con la igualdad de firmas juntos obtendrá un número con cero de la firma. Y un número con cero firma tiene cada exponente incluso, y por lo tanto debe ser un cuadrado.

Quería ilustrar lo que decía en mi comentario, y también para demostrar que si hay algo un poco complicado, dándole un nombre, que significa que usted sólo tiene que lidiar con las complicaciones de una vez.

Para el segundo bit, John Watson ha demostrado cómo llevar a cabo diecisiete pares que se multiplican para dar un cuadrado. Usted podría utilizar la factorización $4^a9^b25^c49^d$ a definir la "segunda firma" o algo así, y el mismo argumento esencialmente pasa por darle un cuarto poder.

Answer 4

a) Vamos a definir la función:
$f:\{n\in\mathbb{N} | (d, t, f, s) \in \mathbb{N}^4$ $n= 2^d*3^t*5^f*7^s\} \to (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^4$
$n\mapsto f(n)=(\bar d, \bar t, \bar f, \bar s)$
donde d es la potencia de 2 en n; ($d \equiv \bar d [2]$ )
t es el poder de 3 en n; ($t \equiv \bar t [2]$ )
f es la fuerza de 5 n; ($f \equiv \bar f [2]$ )
s es el poder de la 7 en n. ($s \equiv \bar s [2]$ )
$f(2)=(\bar 1,\bar 0,\bar 0,\bar 0); f(3)=(\bar 0,\bar 1,\bar 0,\bar 0); f(6)=(\bar 1,\bar 1,\bar 0,\bar 0)$; etc.

Compruebe que $f(n_1*n_2)=(\bar d_1+\bar d_2, \bar t_1+\bar t_2, \bar f_1+\bar f_2, \bar s_1+\bar s_2)$
Compruebe que $f(p)=(\bar 0,\bar 0,\bar 0,\bar 0) \iff$ p es un cuadrado.

$ Card((Z/2Z)^4)$ $2^4$ , por lo que hay en la mayoría de los 16 valores distintos de f(n). Utilizando el principio del palomar, de 17 enteros, al menos dos de ellos comparten la propiedad $f(n_1)=f(n_2)$.
$\begin{align} f(n_1*n_2) & =(\bar d_1+\bar d_2, \bar t_1+\bar t_2, \bar f_1+\bar f_2, \bar s_1+\bar s_2) \\ & =(2*\bar d_1, 2*\bar t_1, 2*\bar f_1, 2*\bar s_1) \\ & =(\bar 0, \bar 0, \bar 0, \bar 0) \end{align}$

... que muestra que $n_1*n_2$ es un cuadrado.

b) Utilizar la misma función que en una). Utilizando el principio del palomar, de 49 enteros, al menos cuatro de ellos comparten la propiedad $f(n_1)=f(n_2)=f(n_3)=f(n_4)$. (poner 3 elementos en 16 cuadros, que hace 48 artículos; ahora la 49ª elemento debe caber en una caja, donde ya hay tres de ellos).

$\begin{align} f(n_1*n_2*n_3*n_4) & =(\bar d_1+\bar d_2+\bar d_3+\bar d_4, \bar t_1+\bar t_2+\bar t_3+\bar t_4, \bar f_1+\bar f_2+\bar f_3+\bar f_4, \bar s_1+\bar s_2+\bar s_3+\bar s_4) \\ & =(4*\bar d_1, 4*\bar t_1, 4*\bar f_1, 4*\bar s_1) \\ \end{align}$

... así que, si yo escribo (en $\mathbb{N}$) $n_1*n_2*n_3*n_4$ en el formulario de $2^d*3^t*5^f*7^s$, entonces sabemos que desde arriba que d, t, f, s son todos los múltiplos de cuatro. Hemos encontrado al menos un producto de cuatro números que es la cuarta potencia de un número entero.

Espero que esto ayude!