Un agricultor tiene 30 plantas: 12 rosas, 12 jazmines y 6 lotos, ¿cuántas posibilidades tiene de plantarlas en fila?

Question

Un agricultor tiene 30 plantas: 12 rosas, 12 jazmines y 6 lotos, ¿Cuántas posibilidades puede plantarlas en fila si 2 lotos no pueden crecer uno al lado del otro?

Intenté ver la pregunta de esta manera:

Digamos que quiero hacer una palabra con 30 letras. Marcaré Roses como R, Jasmine como J, y Lotus y L. Así que quiero hacer una palabra con exactamente 12 R's, 12 J's y 6 L's donde no tengo 2 L's una al lado de la otra.

Así que el número total de posibilidades para formar una palabra es: $\frac {30!}{12!12!6!}$ .

Y quiero reducir las posibilidades en las que hay al menos 2L en una fila, Así que voy a definir una nueva 'letra' T que es LL, Y obtener $\frac {29!}{12!12!4!1!}$ .

Pero que al hacer $\frac {30!}{12!12!6!}-\frac {29!}{12!12!4!1!}$ Yo obtengo $0$ .

¿Qué pasa con mi solución?

Gracias

Answer 1

En tu segunda solución cuentas varias veces muchas de las posibilidades. Por ejemplo: una vez puedes elegir el primer plano como LL y luego otro loto, y también puedes hacer lo contrario.

Para resolver esto, puedes pensar en los 12 planos de Lotus como divisores, y luego poner al menos un plano entre cada dos divisores cercanos.

Answer 2

Primero cuenta el número de formas de plantar las rosas y los jazmines en fila: como hay 24 plantas y 12 de ellas son rosas, hay C(24,12) opciones.

Ahora tenemos 25 huecos (contando los huecos exteriores) en los que colocar las plantas de loto, por lo que hay C(25,6) formas de hacerlo.

Por lo tanto, hay C(24,12)*C(25,6) formas de plantarlos en fila sin que haya dos plantas de loto juntas.

Answer 3

Me he imaginado la pregunta: [Bastante similar a las respuestas anteriores, pero todavía usando la idea que usé cuando hice la pregunta]

Digamos que quiero hacer una palabra con 30 letras. Marcaré Roses como R, Jasmine como J, y Lotus y L. Así que quiero hacer una palabra con exactamente 12 R's, 12 J's y 6 L's donde no tengo 2 L's una al lado de la otra.

En primer lugar, voy a construir una palabra sin usar la letra L: Tengo un total de 24 letras, quiero exactamente 12 R's y 12 J's, así que obtengo : $\frac {24!}{12!12!}$ .

Veremos cada letra como una partición, y cada espacio como una celda, cada celda puede contener hasta 1 L. Tengo un total de 25 celdas (1 al principio, 23 entre cada una de las letras, 1 al final) y 6 L's, Entonces obtenemos: $\binom {25}{6}$

Multiplicando lo anterior nos da: $\frac {24!}{12!12!}\binom {25}{6}$ y tenemos lo que se necesita.

El problema con mi solución era que tenía 4 L's además del grupo LL que me hacía contar cualquier permutación que contenga LL mucho más de 1 vez.