Funciones trigonométricas - encontrar soluciones.

Question

Pregunta:

Encontrar la solución general de la ecuación: $$\sin x + 2\sin2x - \sin3x = 3$$

Enfoque: Así utilizando la identidad de $\sin a - \sin b $, I unió $\sin x - \sin3x$ Y como $\sin 2x = 2\sin x\cos x$, llegué hasta aquí: $$2\sin x(2\cos x - \cos 2x) = 3$$

Editar:

Considerando $\sin x - \sin 3x = -2\cos 2x\sin x$ La ecuación se convierte en: $$-2\cos 2x\sin x+2\sin 2x = 3$$ $$(-2\sin x)\cos 2x +2\sin 2x = 3$$ El valor máximo de la ecuación de $asinx + bcosx$ $\sqrt{a^2 + b^2}$ El uso de este de aquí: (teniendo en cuenta los $b = -2\sin x$$a = 2$) $$3 \leq \sqrt{4\sin^2 x + 4}$$ $$3/2 \leq \sqrt{1 + sin^2x}$$ Obviamente no puede suceder como valor máximo de $\sqrt{1 + sin^2x}$ $\sqrt2$

Answer 1

Al establecer$z=e^{ix}\in S^1$, la ecuación dada puede escribirse como:$$ \Im\left(z+2z^2-z^3\right) = 3 \tag{1}$ $ que implica:$$ \left\|z+2z^2-z^3\right\| = \left\| 2+\frac{1}{z}-z \right\|\geq 3\tag{2}$ $ pero eso no puede ocurrir desde:$$ \left\| 2+\frac{1}{z}-z \right\| = \left\| 2-2i\sin x\right\|\leq 2\sqrt{2} < 3,\tag{3} $ $, por lo que no hay soluciones reales.

Answer 2

Usando las identidades trigonométricas:

$$\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$ $$$\sin(3x) = 3\sin(x)-4\sin^{3}(x),$ $ tenemos

PS

Al cuadrar la ecuación, las soluciones se mantienen. Por lo tanto,

PS

Tomar $$\sin(x) +4\sin(x)\cos(x) -3\sin(x) + 4\sin^3(x) = 3 \implies \cos(x) = \frac{3 + 2\sin(x) -4\sin^3(x)}{4\sin(x)}.$. Así,

$$1-\sin^2(x) = \frac{16\sin^6(x)-16\sin^4(x)-24\sin^3(x)+4\sin^2(x)+12\sin(x) +9}{16\sin^2(x)}.$$y = \sin(x)$$$(1-y^2) = \frac{16y^6-16y^4-24y^3+4y^2 +12y+9}{16y^2}$ $ que no tiene soluciones reales.

Answer 3

No hay soluciones reales. $s = \sin(x)$ debe satisfacer$16s^6-24s^3-12s^2+12s+9=0$, que no tiene una raíz real.