¿Por qué no en Último Teorema de Fermat para los polinomios de suponer que para los números enteros?

Question

Último Teorema de Fermat para polinomios de la siguiente manera a partir de la Stothers-teorema de Mason, que es: Para cualquier entero $n\geq 3$, no existen polinomios $x(t), y(t), z(t)$ no todas constante tal que $x(t)^n + y(t)^n = z(t)^n$ todos los $t\neq 0$.

Pero desde siempre podemos encontrar adecuado polinomios en $t$ tal que $(x(t), y(t), z(t)) = (a,b,c)$, ¿por qué no puede FLT para los polinomios de suponer que para los números enteros ?

Por ejemplo, supongamos que tenemos $7^n + 8^n = 15^n$ para algunos entero $n\geq 3$, tendríamos $t=2$ tal que $(7, 8, 15) = (3t+1, 4t, 8t-1)$, lo cual es imposible por el FLT para polinomios ?

Answer 1

El Mason-Stothers teorema vale para los polinomios de más de $\mathbb{Q}$, y cualquier $n\ge3$. Tenga en cuenta que $\mathbb{Q}$ es un infinito campo, por lo que dos polinomios $P(t)$ $Q(t)$ son diferentes si y sólo si no es $a\in\mathbb{Q}$ tal que $P(a)\ne Q(a)$.

Así FLT para los polinomios de más de $\mathbb{Q}$ puede ser declarada de

para cualquier coprime y polinomios no constantes $x(t)$, $y(t)$, $z(t)$ más de $\mathbb{Q}$ y cualquier $n\ge 3$ existe $a\in\mathbb{Q}$ tal que $$x(a)^n+y(a)^n\ne z(a)^n$$

debido a que esta es una forma alternativa de decir $x(t)^n+y(t)^n\ne z(t)^n$ como polinomios.

Por lo que el teorema no dice que la desigualdad se cumple para todos los $a\in\mathbb{Q}$, que serían necesarios para obtener FLT a partir de ella.

Otra forma de verlo es considerar FLT para los polinomios de más de $\mathbb{R}$: puede que tal vez se derivan de él que de $a,b,c\in\mathbb{R}$ $n\ge 3$ tenemos $a^n+b^n\ne c^n$?