Prueba: Entre dos irracionales cualesquiera hay un racional, por la Densidad de los racionales en el sistema de números reales. Sólo hay un número contable de racionales; por tanto, sólo hay un número contable de pares de irracionales. Por lo tanto, el número de irracionales es contable ya que la cardinalidad de $2\mathbf{N}$ es $\mathbf{N}$ .
No sé por qué me encontré con esta lógica ya que sé que los irracionales son incontablemente infinitos, pero no veo el agujero en mi lógica.
La afirmación de que entre dos racionales sólo hay un irracional es falsa. De hecho entre dos racionales hay muchos irracionales, por lo que tendrás que trazar mucho de irracionales al mismo par (también para la mayoría de los pares).
Por lo tanto tu prueba no constituye una biyección, ni siquiera una función bien definida. Sin embargo, este es un error común con los objetos infinitos. Tienden a ser muy confusos.
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