Actualmente estoy intentando demostrar el lema de Riemann-Lebesgue utilizando sumas inferiores de Darboux y una aproximación de cualquier función integrable $f: [0,1] \to \mathbb{R}$ definido como $$t(x) := \begin{cases} m_i & \text{for } x_i \leq x < x_{i+1},\; i < n\\ m_n & \text{for } x= 1 \end{cases},$$ donde $m_i := \inf\nolimits_{\xi \in [x_i, x_{i+1}]} f(\xi)$ y $P = \{x_i\}_{1 \leq i \leq n}$ es una partición del intervalo $[0,1]$ . Ahora quiero demostrar que $$\int_0^1 t(x) \cos(\lambda x) \; \mathrm dx \leq \varepsilon$$ para algunos $\varepsilon > 0$ .
Nuestro profesor asistente nos dijo que era posible integrar realmente $t(x) \cos(\lambda x)$ pero no veo cómo hacerlo. Supongo que tendría que hacer uso de la regla del producto dos veces (como $\int t(x) \; \mathrm dx = s(f,P)$ ), pero el problema es que no conozco la integral de la suma inferior de Darboux (o si siquiera existe) y tampoco conozco la derivada de $t(x)$ (o si existe).
¿Cómo debo proceder? ¿Hay algún truco diferente para integrar $t(x) \cos(\lambda x)$ ?
Gracias por cualquier respuesta de antemano.
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Intenta hacer la integral dividiendo $[0,1]$ en $[x_0,x_1], [x_1,x_2],\cdots$ . De este modo, en cada intervalo $t(x)$ es una constante, y $\cos$ es algo que sabes integrar.
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$t(x)$ es constante a trozos
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Integrando a trozos, llego a $\frac{1}{\lambda} \sum_{l=1}^{n-1} m_l \cdot (\sin(\lambda x_{l+1}) - \sin(\lambda x_l))$ . ¿Puedo ahora simplemente estimar $\sum_l m_l \leq n \sup f(x)$ y luego para todos $\lambda \geq \lambda_0 = 2 n \sup f(x)/\varepsilon$ la integral es menor o igual a $\varepsilon$ ? Lo pregunto porque en la solución la integral es básicamente la misma que la mía pero contiene $(x_{i+1} - x_i)$ en lugar de $m_l$ donde por supuesto $\sum_i x_{i+1} - x_i = 1$ que sería mucho más agradable.
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Dejar $\lambda\to\infty$ en $(1/\lambda)\sum_l(\sin(\lambda x_{l+1})-\sin(\lambda x_l))$ . no te obsesiones con los detalles; la cuestión es que esto se hace pequeño como $\lambda$ se hace grande