Deje $\mathbf E$ ser un espacio de Banach, vamos a $a<b$ ser números reales, vamos
$f : [a,b] \to \mathbf E$ ser una función.
Una partición de $\pi$ $[a,b]$ es un subconjunto finito, $\{a,b\} \subseteq \pi \subset [a,b]$, generalmente por escrito
en fin: $a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b$. Etiquetas para una partición
$\pi$ como anteriormente son los puntos de $t_i$ tal que $x_{i-1} \le t_i \le x_i$
para $1 \le i \le n$.
Partición de $\pi_1$ refina la partición de $\pi_2$
iff $\pi_1 \supseteq \pi_2$, recordando que una partición es
un conjunto finito.
Definición. Deje $f$ ser como el anterior, y deje $\mathbf u \in \mathbf E$.
Decimos que $f$ es Riemann integrable en $[a,b]$ $\mathbf{u}$
es integral, iff: para cada $\epsilon > 0$, hay un
partición de $\pi_0$ $[a,b]$ tal que para todos los refinamientos
$\pi=(x_i)_{i=0}^n$ $\pi_0$ y todas las etiquetas de $(t_i)_{i=1}^n$$\pi$,
$$
\left\|\mathbf u - \sum_{i=1}^n f(t_i)\;(x_{i}-x_{i-1})\right\| < \epsilon.
$$
Lema $f$ es integrable iff: para cada $\epsilon > 0$
no es una partición de a $\pi = (x_i)_{i=0}^n$ tal que
para cualquiera de las dos opciones de $(t_i)_{i=1}^n, (s_i)_{i=1}^n$ de etiquetas
para $\pi$, tenemos
$$
\left\|\sum_{i=1}^n \big(f(t_i)-f(s_i)\big)\;(x_{i}-x_{i-1})\right\| < \epsilon.
$$
Prueba. Criterio de Cauchy.
Teorema. Deje $f : [a,b] \to \mathbf E$ ser delimitada y
continua salvo en un conjunto $N\subseteq [a,b]$
de medida cero. A continuación, $f$ es integrable.
Prueba. Agregar $\{a,b\}$ para el conjunto null $N$ para evitar especiales
los casos a los extremos.
Deje $\epsilon>0$. Decir $f$ está delimitado por $M$,
$\|f(x)\| \le M$. Deje $\alpha > 0$ ser tan pequeño que
$2M\alpha + \alpha(b-a) < \epsilon$. Para un intervalo abierto
$(u,v)$ nos dice $f$ ha oscilación en la mayoría de las $\alpha$ $(u,v)$
si para todos $x,y \in (u,v)$, $\|f(x)-f(y)\| \le \alpha$.
Si $f$ es continua en un punto a $s$, entonces no es un
inverval $(u,v)$ con rational extremos, $s \in (u,v)$,
de modo que $f$ ha oscilación en la mayoría de las $\alpha$$(u,v)$.
Así que hay una contables de la unión de los intervalos que se $(u,v)$
que contiene $[a,b] \setminus N$, y por lo tanto tiene plena medida.
Así que hay una lista finita $(u_j,v_j)$ de los intervalos donde
$f$ ha oscilación en la mayoría de las $\alpha$, y su unión ha
medida mayor que $b-a-\alpha$. A continuación, hay una partición
$\pi = (x_i)_{i=0}^n$ $[a,b]$ de manera tal que cada subinterval
$[x_{i-1},x_i]$ a partir de la partición, o bien está contenida en
un intervalo donde el $f$ ha oscilación en la mayoría de las $\alpha$,
o es un "excepcional" intervalo. La longitud total de todos los
la excepcional intervalos es ${}< \alpha$. Ahora
deje $(t_i)$ $(s_i)$ ser dos opciones de etiquetas para la
partición de $\pi$. Ahora debemos considerar
$$
\left\|\sum_{i=1}^n\big(f(t_i)-f(s_i)\big)(x_i-x_{i-1})\right\|
\le
\sum_{i=1}^n\left\|\big(f(t_i)-f(s_i)\big)(x_i-x_{i-1})\right\| .
$$
Consideran que el término
$(f(t_i)-f(s_i))(x_i-x_{i-1})$. Si el subinterval $[x_{i-1},x_i]$
no es excepcional, a continuación,
$$
\left\|\big(f(t_i)-f(s_i)\big)(x_i-x_{i-1})\right\|
\le \alpha (x_{i}-x_{i-1}) ,
$$
así que el total de todas las condiciones para no excepcionales intervalos
es en la mayoría de las $\alpha (b-a)$. Si el subinterval $[x_{i-1},x_i]$
es excepcional, a continuación,
$$
\left\|\big(f(t_i)-f(s_i)\big)(x_i-x_{i-1})\right\|
\le 2M (x_{i}-x_{i-1}) ,
$$
así que el total de todas las condiciones de excepcional intervalos
es en la mayoría de las $2M\alpha$. Así
$$
\left\|\sum_{i=1}^n\big(f(t_i)-f(s_i)\big)(x_i-x_{i-1})\right\|
\le \alpha(b-a)+2M\alpha < \epsilon .
$$
