Dejemos que $p(z)$ y $q(z)$ son dos polinomios del mismo grado y ceros de $p(z)$ y $q(z)$ están dentro del disco de la unidad abierta, $|p(z)|=|q(z)|$ en el círculo unitario, entonces demuestre que $p(z)=\lambda q(z)$ donde $|\lambda|=1$ .
Por favor, sólo da una pista, no la solución completa. Gracias.
Dejemos que $d$ el grado común de $P$ y $Q$ . Definir $P_1(z):=z^dP(1/z)$ y $P_2(z):=z^dQ(1/z)$ . Estos polinomios no desaparecen en el disco unitario. Aplicamos el principio del módulo máximo a $P_1/P_2$ y $P_2/P_1$ . Esto hace que $P_1/P_2$ es constante (de lo contrario se produce una contradicción porque $P_1/P_2$ sería una función holomorfa con módulo constante en un conjunto abierto conectado, por lo que sería ella misma constante).
Tenga en cuenta que el hecho de que $P$ y $Q$ es necesario tener el mismo grado. De hecho, $P(z)=z$ y $Q(z)=z^2$ tienen su raíz en el disco unitario abierto, el mismo módulo en la esfera unitaria pero por supuesto no son iguales hasta una constante.
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