¿Es este mapa$F:V^*\times V\to \mathbb R$ una definición sin base?

Question

Deje $V$ ser un espacio vectorial de dimensión $2$.

Deje $\{w_1,w_2\}$ ser una base de $V$ $\{\beta_1,\beta_2\}\subset V^*$ su base dual.

Deje $T:V^*\times V^*\times V\times V \to \mathbb R$ ser un multiliear mapa.

Deje $F:V^*\times V\to \mathbb R$ ser el multiliear mapa definido por

$$F(u,v)=\sum_{k=1}^2T(\beta_k,u,w_k,v).$$

Pregunta: Es la definición de $F$ indepentend de la base fija $\{w_1,w_2\}$$V$? En otras palabras, cualquier base de dar el mismo $F$?

Si es así, es trivial? Este es un comentario en algunas notas, pero no pude probarlo por mí mismo. Agradecería una explicación de la prueba.

Answer 1

Sí, lo es (no es difícil de mostrar, aunque tampoco es demasiado trivial). Solo hay que comprobar que el valor coincida para todas las bases. Esto es si la base se transforma como $$ w_k = \ sum _ {\ alpha = 1} ^ {2} A _ {\ alpha k} w '_ {\ alpha} $$ y por la condición$\beta_k(w_l) = \delta_{wl}$, la base dual transformar como $$ \ beta_ {k} = \ sum _ {\ mu = 1} ^ 2 A ^ {- 1} _ {k \ mu} \ beta '_ {\ mu}, $$ luego para cualquier$u \in V^*, v \in V$ \begin{align} F(u,v) &= \sum_{k=1}^{2} T(\beta_k,u,w_k,v) \\ &= \sum_{k=1}^{2} T\Big(\sum_{\mu =1}^2 A^{-1}_{k \mu }\beta'_{\mu},u,\sum_{\alpha = 1}^{2} A_{\alpha k} w'_{\alpha},v\Big) \\ &= \sum_{\mu =1}^2 \sum_{\alpha = 1}^{2} \, \Big(\sum_{k=1}^{2} A^{-1}_{k \mu } A_{\alpha k}\Big) T(\beta'_{\mu},u,w'_{\alpha},v) \\ &= \sum_{\mu =1}^2 \sum_{\alpha = 1}^{2}\delta_{\mu \alpha} T(\beta'_{\mu},u,w'_{\alpha},v) \\&= \sum_{\alpha=1}^{2} T(\beta'_{\alpha},u,w'_{\alpha},v). \end {align} Como dice @Ivo Terek, este trabajo para cualquier dimensión (finita) de$V$.

Answer 2

Esta solución puede ser usada para probar el mismo resultado para una arbitraria finito-dimensional espacio vectorial $V$ a través de un campo arbitrario $\mathbb{K}$, sin ninguna modificación.

Consideramos $\phi:X\to Y$ donde$X:= V\otimes V\otimes V^*\otimes V^*$$Y:V\otimes V^*$, para ser el lineal mapa dada por la contracción a través de la natural pelado de el primer factor y el tercer factor. Es decir, $$\phi(x\otimes y\otimes f\otimes g)=f(x)\,(y\otimes g)$$ para cada $x,y\in V$$f,g\in V^*$. La definición de $\phi$ es, por supuesto, independiente de las bases de $V$ $V^*$ (es decir, $\phi$ es un canónica mapa).

Desde $V$ es finito-dimensional espacio vectorial (de dónde lo es $V^*$), el natural incrustaciones $$V\otimes V\otimes V^*\otimes V^* \hookrightarrow V^{**}\otimes V^{**}\otimes V^*\otimes V^*$$ y $$V^{**}\otimes V^{**}\otimes V^*\otimes V^*\hookrightarrow \left(V^*\otimes V^*\otimes V\otimes V\right)^*$$ naturales isomorphisms (el primero es inducida por la inclusión canónica $V\hookrightarrow V^{**}$ y la segunda es una consecuencia de la existencia de una inclusión natural $U^*\otimes W^*\hookrightarrow \left(U\otimes W\right)^*$ para espacios vectoriales $U$$W$). Es decir, su composición $$V\otimes V\otimes V^*\otimes V^* \hookrightarrow \left(V^*\otimes V^*\otimes V\otimes V\right)^*\,.$$ es un isomorfismo natural de finito-dimensional espacios vectoriales. Por lo tanto, podemos canónicamente (es decir, independiente de las bases) identificar $$X=V\otimes V\otimes V^*\otimes V^* \boldsymbol{=\!=}\left(V^*\otimes V^*\otimes V\otimes V\right)^*\,.$$ Del mismo modo, hay una canónicas de identificación $$Y=V\otimes V^* \boldsymbol{=\!=} \left(V^*\otimes V\right)^*\,.$$ (La canónica identificaciones son denotados por largo signos de igual $\boldsymbol{=\!=}$.)

Tenga en cuenta que el mapa de $\phi$ toma cada función multilineal $T\in \left(V^*\otimes V^*\otimes V\otimes V\right)^*\boldsymbol{=\!=}X$ a su asociar $F\in \left(V^*\otimes V\right)^*\boldsymbol{=\!=}Y$. Desde $\phi$ es un canónica mapa, $F$ es independiente de la elección de la base de $V$.