Encontrar todos los enteros $n$ para lo cual $n^2+n+1$ es un cuadrado perfecto.
A golpe de prueba obtenemos $n=-1,0$ pero ¿podría alguien sugerir algún enfoque genuino sobre cómo abordar este problema?
@MathGeek: Para el ejemplo particular que mencionas, la misma idea. Obtenemos $(2n+1)^2 +163=4x^2$ . Para encontrar cuadrados $u^2$ y $v^2$ que se diferencian por $163$ , tenga en cuenta que $(u-v)(u+v)=163$ . Desde $163$ es primo, lo que da $u-v=1$ , dando $u+v=163$ y $3$ otras posibilidades. Resolver. El mismo método se puede utilizar para resolver $u^2-v^2=k$ . Si $k$ tiene muchos factores, en general habrá muchas soluciones.
Tenga en cuenta que $n^2 + n + 1 = (n+1)^2 - n$ . Ahora bien, si $n > 0$ entonces $(n+1)^2 > (n+1)^2 - n > n^2$ por lo que la cantidad $(n+1)^2 - n$ está atrapado entre dos cuadrados consecutivos y, por tanto, no puede ser un cuadrado.
Del mismo modo, si $n < -1$ entonces $(n+1)^2 < (n+1)^2 - n < n^2$ produce una contradicción. Así que has encontrado todas las soluciones.
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