Hay incomparable funciones?

Question

Dado $\mathbb R^{(0,1)} = \{f:(0,1)\to\ \mathbb R \mid f\text{ is a function}\}$ definimos la relación $$f \le g \iff f(x) \le g(x), \forall x \in (0,1).$$

El problema requiere para demostrar que este es un orden de relación, lo cual hice, pero luego se le pregunta si hay alguna incomparable elementos en $\mathbb (R^{(0,1)},\; \le)$ y también se pregunta si $\mathbb (R^{(0,1)},\; \le)$ es una celosía. Yo no sé realmente cómo acercarse a esta parte.

Soy nuevo en el orden de la teoría, pero aquí es lo que he intentado:

Sé que dos elementos son comparables si $x \le y$ o $y \le x$ que deben trabajar aquí, pero luego pensé ¿y si algunas de $\lim f(x) = \infty$ algunos $x \in (0,1)$ $f(x)$ todavía comparable con cualquier función de $\mathbb (R^{(0,1)})?\ (1)$ I no puede esta figura (1).

Para la segunda parte, donde se le pregunta si $\mathbb (R^{(0,1)}, \le)$ es una celosía si la condición (1) es logradas, a continuación, $\mathbb (R^{(0,1)}, \le)$ es una cadena (secuencia), entonces sabemos que cada cadena (secuencia) es una celosía.

Answer 1

Bueno, ¿usted se considera algo tan simple como $f(x)=\frac12$ todos los $x\in (0,1)$ $g(x)=x$ todos los $x\in(0,1)$?

Como para encontrar cumple y combinaciones de elementos, consideró los candidatos obvios $x\mapsto\min(f(x),g(x))$$x\mapsto\max(f(x),g(x))$?

Que estaban en un razonable seguimiento "con los dos elementos $f$ $g$ no son comparables si $f\nleq g$$g\nleq f$." Por definición, entonces, no tendría que existir un $x$ tal que $f(x)\nleq g(x)$ y también una $x'$ tal que $g(x')\nleq f(x')$. En palabras: tanto de las funciones que tiene que pasar por encima de uno al otro en algún momento. Por lo tanto, el sencillo ejemplo anterior.