Resolver el sistema lineal con $A_{i,j} = \langle e_i, e_j\rangle^2$, las aristas de un triángulo

Question

Tengo tres vectores en $e_i\in\mathbb{R}^3$ que forman un triángulo. Consideremos ahora la ecuación lineal de sistema de $Ax=b$ con $$ A_{i,j} = \langle e_i, e_j\rangle^2,\\ b_i = \langle e_i, e_i\rangle. $$ Me puede resolver estos problemas numéricamente, pero de alguna manera siento que me estoy perdiendo. Tal vez la solución puede incluso ser construido explícitamente de $e_i$?

Alguna idea?

Answer 1

Solo para que lo sepas, es posible escribir $P^T A P = D$ diagonal con las entradas de $P$ expresiones racionales en las entradas de $A.$ Si se desea, se puede obtener una matriz diagonal $Q$ con raíces cuadradas de los valores absolutos de las entradas de $D$ conseguir $Q P^T A P Q = W,$ donde $W$ es diagonal y todas las entradas están en $0,1,-1.$ tenga en cuenta que no hay ninguna necesidad de $A$ a ser positivo, sólo simétrica.

Aquí está la idea en símbolos; uno puede cambiar el orden de las operaciones si se cree conveniente.

? m = [ a,f,e; f,b,d; e,d,c]
%1 = 
[a f e]

[f b d]

[e d c]

? m - mattranspose(m)
%2 = 
[0 0 0]

[0 0 0]

[0 0 0]


? p1 = [ 1, -f/a, -e/a; 0,1,0; 0,0,1] 
%6 = 
[1 -f/a -e/a]

[0 1 0]

[0 0 1]

? m1 = mattranspose(p1) * m * p1
%7 = 
[a 0 0]

[0 (b*a - f^2)/a (d*a - e*f)/a]

[0 (d*a - e*f)/a (c*a - e^2)/a]


? p2 = [ 1,0,0; 0,1, (a * d - e * f) / (f^2 - a * b); 0,0,1]
%9 = 
[1 0 0]

[0 1 (d*a - e*f)/(-b*a + f^2)]

[0 0 1]

? m2 = mattranspose(p2) * m1 * p2
%10 = 
[a 0 0]

[0 (b*a - f^2)/a 0]

[0 0 ((-c*b + d^2)*a + (c*f^2 - 2*d*e*f + b*e^2))/(-b*a + f^2)]

? m
%11 = 
[a f e]

[f b d]

[e d c]

? matdet(m)
%12 = (c*b - d^2)*a + (-c*f^2 + 2*d*e*f - b*e^2)
? 

Answer 2

Primero vamos a suponer que el triángulo está en la $z=0$-plano. Después de algunos cálculos SymPy escupe

(b0*c0 + b1*c1)/(a0*a0*b1*c1 - a0*a1*b0*c1 - a0*a1*b1*c0 + a1**2*b0*c0)
(a0*c0 + a1*c1)/(a0*b1*b1*c0 - a0*b0*b1*c1 - a1*b0*b1*c0 + a1*b0*b0*c1)
(a0*b0 + a1*b1)/(a0*b0*c1*c1 - a0*b1*c0*c1 - a1*b0*c0*c1 + a1*b1*c0*c0)

como una solución (donde (a0, a1), (b0, b1), (c0, c1) están al borde de coordenadas). Claramente el numerador es el punto-producto de los dos "otros" de los bordes; el denominador de la primera componente es igual a (a0*b1 - a1*b0) * (a0*c1 - a1*c0). Juntos, esto puede ser escrito como $$ x_1 = \frac{\langle e_2, e_3\rangle}{\langle e_1\times e_2, e_1\times e_3\rangle} $$ para la solución en el primer componente. (Los otros componentes del mismo modo.)

El resultado es cierto si el triángulo se hace girar en el espacio, ya que $$ \langle R a, R b\rangle = \langle a, b\rangle \text{ y}\\ (R)\times (R b) = R(a\times b) $$ para cualquiera de los dos vectores $a, b$ y la rotación de la matriz $R$.