Extremos de $f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2} \cdot e^{-(x^{2}+y^{2})}$

Question

tengo problemas solución de esta tarea aquí:

Tenemos una función de $f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}$, $$ f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2} \cdot e^{-(x^{2}+y^{2})} $$

Calcular los extremos locales de $f$. Decidir por todos si se trata de un estricto mínimo local estricto de máximo local. Encontrar el global máximo y mínimo de $f$.

Mi principal problema es calcular los extremos locales de $f$. Normalmente, me volvería a calcular las derivadas parciales y de conjunto de ellos 0. Como:

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{xe^{-x^{2}-y^{2}}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}-2xe^{-x^{2}-y^{2}}\sqrt{x^{2}+y^{2}}$

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{e^{-x^{2}-y^{2}}(-2x^{2}y-2y^{3}+y)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$

Si usted acaba de ayudarme a encontrar los puntos de los extremos locales yo sería muy feliz. Sentado ahora desde un par de días en esta tarea.

Answer 1

Sugerencia:

tenga en cuenta que la función es simétrica alrededor de la $z$ eje, por lo que puede ser mejor estudiado en coordenadas cilíndricas.

El uso de $\sqrt{x^2+y^2}= r$, la función se convierte en: $$ z=re^{-r^2} $$ y la derivada $$\frac{\partial z}{\partial r}=e^{-r^2}(1-2r^2)$$ es más sencillo.

Se puede hacer esto?

Answer 2

Por supuesto, usted puede utilizar derivadas parciales, pero el álgebra consigue sucio. Observe la simetría sobre el $z$ eje. $r^2=x^2+y^2$ sugiere que el uso de coordenadas polares. Pensar acerca de $f$ no como una función de nuestra $(x,y)$ coordenadas en el espacio, sino como una función de la distancia de la $z$ eje $r$. Tenemos $f: [0,\infty) \to \mathbb{R}$, y:

$f(r)=re^{-r^2}$

Debe ser fácil de encontrar los valores extremos ahora, utilizando una sola variable de cálculo.

Answer 3

Has hecho bien para calcular $$ \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{xe^{-x^{2}-y^{2}}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}-2xe^{-x^{2}-y^{2}}\sqrt{x^{2}+y^{2}} $$ pero entonces, de alguna manera, cambió de a $x$ $y$en el siguiente paso. Aquí es mejor que el factor de $x$ y el término exponencial para obtener $$ \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{xe^{- x^2+y^2)}(1-2(x^2+y^2))}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} $$ y $$ \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{ye^{- x^2+y^2)}(1-2(x^2+y^2))}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} $$ Desde $e^{-(x^2+y^2)}\neq 0$ todos los $(x,y)\in\mathbb R^2$ consigue $$ \frac{\partial f}{\partial x}=0\Leftrightarrow x(1-2(x^2+y^2))=0\Leftrightarrow x=0\text{ o }x^2+y^2=\frac12 $$ y $$ \frac{\partial f}{\partial y}=0\Leftrightarrow y(1-2(x^2+y^2))=0\Leftrightarrow y=0\text{ o }x^2+y^2=\frac12 $$ El conjunto de puntos críticos es

$$\{(0,0)\}\cup\left\{(x,y)\in\mathbb R^2~:~x^2+y^2=\frac12\right\}$$ El conjunto de puntos críticos es que aquí no finita. Tal vez eso era confuso?