Probar: para todos los $n$ hay $m$ tales que la suma de los dígitos en $mn$ es igual a $n$.

Question

En el siguiente $n,m$ son números naturales.

Necesito demostrar que para todos los $n$ hay $m$ tales que la suma de los dígitos en $mn$ es igual a $n$.

Alguna idea?

Gracias.

Answer 1

Hay una cantidad infinita de potencias de $10$, sin embargo, sólo una cantidad finita de congruencia clases de mod $m$, por lo tanto, debe haber al menos uno de esos congruencia de la clase que contiene una cantidad infinita de potencias de $10$. Tome $n$ distintas potencias de diez en esta congruencia de la clase. La suma de estos números es múltiplo de $n$ y el número en la base de $10$ representación de la suma son todos ceros, excepto para$n$, por lo tanto la suma de los dígitos es $n$.

Answer 2

Una prueba está en este papel de H. Fredricksen, E. J. Ionascu, F. Luca, y P. Stanica. Véase también OEIS secuencia A131382.