Preguntas sobre elíptica fibrations

Question

Decir que tengo una expresión algebraica de la superficie de $S$ (liso, proyectiva sobre $\mathbb{C}$) y una de morfismos $f: S \to B$ a algunos curva de $B$ (liso, proyectiva sobre $\mathbb{C}$) definido por el completo sistema lineal correspondiente a algunas divisor $D$$S$. Suponemos que esto de los sistemas lineales a ser punto de base libre.

Es cierto que $D$ será una suma de las fibras de la $f$ y si es así, ¿por qué?

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En realidad sólo estoy tratando de entender la prueba de la Proposición IX.2.(b) en Beauville el libro sobre superficies algebraicas. La prueba es como sigue:

(Aquí se $S$ es un buen proyectiva superficie de más de $\mathbb{C}$$\kappa(S) = 1$. Por otra parte, $M$ es efectivo divisor tal que $|M|$ es el punto de base libre correspondiente a la parte móvil de $|nK_S|$ algunos $n$ de manera tal que el $n$-th plurigenus es, al menos, $2$ - $K \cdot M = 0$ donde $K$ es el divisor canónico.)

"(...) Se deduce que $|M|$ define un morfismos $f$ $S$ $\mathbb{P}^N$cuya imagen es una curva de $C$. Considere la posibilidad de la Stein factorización $f: S \to B \to C \subseteq \mathbb{P}^N$ donde $p: S \to B$ se ha conectado fibras. Deje $F$ ser una fibra de $p$. Desde $M$ es la suma de las fibras de la $p$$K \cdot M = 0$, debemos tener $K \cdot F = 0$. (...)"

Hay tres afirmaciones que no son claras para mí:

*¿Por qué debería de $M$ ser una suma de las fibras de la $p$?

*¿Por qué $K \cdot M = 0$ implica que $K \cdot F = 0$ para CUALQUIER fibra $F$?

*¿Por qué en la tierra se debe a la curva de $B$ saliendo de esta construcción sea suave? Quiero decir, todos los que hemos hecho es empezar con una suave superficie proyectiva $S$$\kappa(S) = 1$, tomando la parte móvil del sistema lineal $|nK_S|$ algunos $n$ de manera tal que el $n$-th plurigenus es $\geq 2$ (que es el punto de base libre), dando una curva de $C$ que es la imagen de la correspondiente pluricanonical mapa y, a continuación, tomar la curva de $B$ saliendo del Stein de factorización. No veo ninguna razón por $B$ debe ser suave, realmente estoy perdido aquí.

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En una nota relacionada, en la prueba de la Proposición IX.3:

"(...) Vamos a $S$ ser de un mínimo de superficie elíptica. Desde $K_S \cdot F_b = 0$ todos los $b \in B$, los mapas contrato en que las fibras de $F_b$. De ello se deduce que la imagen de $\varphi_{nK}$ tiene dimensión $\leq 1$. (...)"

¿Por qué es esto cierto?

Answer 1

He aquí un intento de aclarar las tres declaraciones.

¿Por qué debería de $M$ ser una suma de las fibras de la $p$?

$f=\varphi_M$ es el de morfismos asociados a $|M|$ $f$ factorizes con $p$ mas una incrustación de la curva, por lo que geométricamente se tiene que pensar en las fibras de $p$ como fibras de $f=\varphi_M$. Ahora, la condición de $M^2=0$ geométricamente significa que las curvas en $|M|$ vertical: de hecho de una fibra de $p$ (léase: de $f$) será un elemento en $|M|$, y se ha auto-intersección cero. En otras palabras, los componentes de $M$ están contenidas en algunas de las fibras de $p$. En símbolos esto significa que podemos escribir $$M=\sum r_F F$$ donde $r_F\geq 0$ $F$ son las fibras de $p$.

¿Por qué $K \cdot M = 0$ implica que $K \cdot F = 0$ para CUALQUIER fibra $F$?

Observe $K\cdot F\geq 0$ para cualquier fibra desde $K$ es nef. Así $$0=K\cdot M=\sum r_F K\cdot F$$ que da $K\cdot F=0$.

¿Por qué en la tierra se debe a la curva de $B$ saliendo de esta construcción sea suave?

Sí, también podría ser singular. Si ese es el caso, simplemente reemplace $B$ con su desingularization. Usted todavía tiene su morfismos $p:S\rightarrow B$ sobre una curva suave, con las propiedades deseadas.

Espero que ayude :)