Encontrar una curva que se cruza con $V(X_{0} X_{1}^{3} + X_{1}^{4} − X_{2}^{4})$ bajo ciertas condiciones.

Question

Dejemos que $D=V(X_{0} X_{1}^{3} + X_{1}^{4} X_{2}^{4})\subset\mathbb{P}_{\mathbb{C}}^{2}$ y $C=V(X_{0} X_{1}^{2} + X_{1}^{3} X_{2}^{3})\subset\mathbb{P}_{\mathbb{C}}^{2}$ . Tengo que $C\cap D=\{(0:1:1), (1:-1:0), (1:0:0)\}$ con $mult_{(0:1:1)}(C,D)=1$ , $mult_{(1:-1:0)}(C,D)=3$ y $mult_{(1:0:0)}(C,D)=8$ . Además, $C$ y $D$ tienen un solo punto singular, $(1:0:0)$ y sólo un punto de inflexión, $(1:-1:0)$ .

Ahora, tengo que encontrar un cuarteto $Q$ tal que $mult_{(1:-1:0)}(Q,D)=3$ , $mult_{(1:0:0)}(Q,D)=8$ y $(0:1:1), (0:1:0), (0:0:1), (1:0:1)\in Q$ .

Creo que tengo que manipular $C$ de alguna manera para obtener un cuártico que satisfaga esas condiciones, pero no sé cómo. En el mismo ejercicio se me pide también que encuentre todas las rectas tangentes a $C$ y $D$ que contienen $(0:0:1)$ . No sé si sirve de algo, pero (si no me equivoco) los dos únicos son $V(X_{0}+X_{1})$ y $V(X_{1})$ para ambas curvas, en los puntos $(1:-1:0)$ y $(1:0:0)$ respectivamente.

Se agradecería cualquier pista.

Answer 1

Escribamos $F=X_{0} X_{1}^{3} + X_{1}^{4} − X_{2}^{4}$ , $G=X_{0} X_{1}^{2} + X_{1}^{3} − X_{2}^{3}$ (que son las ecuaciones de $D$ y $C$ respectivamente).

Cualquier cuártico de la forma $Q=V(GL)$ , donde $L$ es un polinomio lineal, satisface $$mult_{(0:1:1)}(Q,D)\ge mult_{(0:1:1)}(C,D)=1,$$ $$mult_{(1:-1:0)}(Q,D)\ge mult_{(1:-1:0)}(C,D)=3,$$ $$mult_{(1:0:0)}(C,D)\ge mult_{(1:0:0)}(C,D)=8.$$ Y lo mismo ocurre si eliges $Q=V(GL+\lambda F)$ , donde $\lambda \in \mathbb{C}$ . Basta entonces con elegir $L,\lambda$ tal que $(0:1:0), (0:0:1), (1:0:1)\in Q$ .

Desde $F(0,1,0)=G(0,1,0)=1$ , $F(0,0,1)=G(0,0,1)=-1$ y $F(1,0,1)=G(1,0,1)=-1$ , puede tomar $\lambda=1$ y $L=X_1+X_2$ .