Dejemos que $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ sea una función. Normalmente, cuando se demuestra un teorema en el que $f$ se supone que es continua y diferenciable, $C^1$ o suave, basta con intuirlo suponiendo que $f$ es suave a trozos (algo que quizás se podría dibujar en un papel sin levantar el lápiz). Lo que quiero decir es que en todos estos casos mi imagen mental es más o menos la misma. Esto funciona la mayoría de las veces, pero a veces, por supuesto, no.
Por lo tanto, me gustaría pedir ejemplos de sistemas continuos, diferenciables y $C^1$ funciones, lo que pondría de manifiesto las diferencias entre las distintas clases. Me interesa especialmente cómo se pueden comparar las funciones desagradablemente diferenciables con las continuamente diferenciables. Además, si se da el caso de que el caso unidimensional resulta poco interesante, no dudes en ampliar tu respuesta a las funciones $\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ . La respuesta óptima también enumeraría algunas "comprobaciones de cordura" mínimas generales para diferentes clases de funciones, que una demostración de un teorema relativo a una clase particular tendría que tener en cuenta.
