El "set" de clases de equivalencia de las cosas.

Question

Esta pregunta puede ser tonta.

Me preguntaba si algún tipo de elección que se necesita para estar en pie firme al hablar sobre el conjunto de clases de equivalencia de ciertas cosas. Por ejemplo, cuando se habla de que el conjunto de clases de equivalencia de las extensiones de un $R$-módulo de $N$, $M$, $$\lbrace E\text{ such that there exists a short exact sequence }0\to N\to E\to M\to 0\rbrace/\sim$$ donde dos cortos exacta secuencias que involucran $E$ $E'$ son equivalentes si existe un diagrama conmutativo $$\begin{array}{c} 0\to &N&\to E\to &M&\to 0\\ &\Vert&~~~\downarrow\phi&\Vert&\\ 0\to &N&\to E'\to &M&\to 0. \end{array}$$ Con el fin de justificar que esto es de hecho un conjunto, sólo puedo pensar en el siguiente enfoque: tomar una sección de un mapa de conjuntos) $\sigma:M\to E$ $p:E\to M$ y usar esto para obtener un bijection de conjuntos de $$E\simeq N\times M,~e\mapsto(n(e),p(e))$$ donde $n(e)\in N$ está definido por $n(e)+\sigma(p(e))=e$, y argumentan que no es sólo un conjunto de $R$-módulo de estructuras en el conjunto de $N\times M$, por lo que en el anterior podemos optar $E$ a siempre ser $N\times M$ como un conjunto, dotado con diferentes $R$-módulo de estructuras. Si no me equivoco, la existencia de secciones a surjective mapas depende del axioma de elección.

Un problema similar surge cuando uno habla sobre el conjunto de clases de isomorfismo de todos los $n$-dimensiones del vector de paquetes durante un determinado espacio de $X$, o la de la directora $G$-paquetes, aunque en este caso en particular creo que uno puede argumentar que el conjunto de todos los abra las cubiertas de $X$.

Supongo que la pregunta se reduce a la siguiente: es la opción necesaria para demostrar que, dado un mapa de $X\to Y$ con fibras de constante cardinalidad, la cardinalidad de a $X$ sólo depende de la de $Y$, y la de la fibra?

Answer 1

Primero de todo, tenga en cuenta que, dado que las clases de equivalencia ellos mismos son los que no se establece, la colección de todas las clases de equivalencia no es un conjunto cualquiera, ni siquiera es una clase. La correcta redacción es decir, que existe un conjunto de representantes, en lugar de una clase de representantes (que puede no existir, por cierto). Por supuesto, si queremos usar Scott, el truco de la entonces las clases de equivalencia son cortados para ser conjuntos y, a continuación, es una de fiar cosa es decir que no es sólo un conjunto de clases de equivalencia.

En segundo lugar, si se requiere que el exacto existen secuencias, y que la relación de equivalencia se define por la existencia de un isomorfismo entre el$E$$E'$. Las clases de equivalencia en sí están bien definidos, sin apelar a ningún axioma de elección.

Creo, sin embargo, sin sentarse a verificar la información, creo que debe ser constante para tener un adecuado clase de conjuntos (distintos de cardinalidad), que son los contables de la unión de los pares. La existencia de una exacta secuencia corta significa que un par en particular se asignan en $0$. Por lo que un adecuado clase de conjuntos puede existir que tienen este tipo de secuencia, sin la existencia de un isomorfismo, y por lo tanto, incluso con el conjunto teórico trucos para turnos de clases de equivalencia en conjuntos, esto es todavía va a ser una clase adecuada.

Pero que se ha dicho, si queremos concreto conjuntos de $M$$N$, a continuación, en orden a asegurar que las secciones existen sólo necesitamos el axioma de elección para las familias de tamaño $|Y|$ cuyos miembros son la "constante" de cardinalidad (sólo deseamos tomar $|X|$ para estar seguro de que, si queremos estar seguros de esto).

Si asumimos esta elección, entonces todos estos $E$ (como en las secuencias) son isomorfos a los subconjuntos de a $\mathcal P(N\times M)$, por lo que no puede ser sólo un conjunto de ellos.

Por ejemplo, si $Y$ es contable, entonces el axioma de contables de elección es suficiente, si también tenemos que las fibras son todos finitos o incluso pares -, entonces el axioma de elección para los contables de las familias de los pares debe ser suficiente. Generalmente se dice que hay una función de elección para finito de conjuntos, o para las familias de los pares, sería una mejor manera de decir que (aunque más fuerte de lo requerido).