límite de potencia de la fracción de la suma de los senos

Question

Encontrar el siguiente límite:

$$\lim_{n\to\infty} \left(\frac{{\sin\frac{2}{2n}+\sin\frac{4}{2n}+\cdot \cdot \cdot+\sin\frac{2n}{2n}}}{{\sin\frac{1}{2n}+\sin\frac{3}{2n}+\cdot \cdot \cdot+\sin\frac{2n-1}{2n}}}\right)^{n}$$

Pensé $\sin(x)$ aproximación de la fórmula, pero no parece funcionar.

Answer 1

Deje $f : [0, 1] \to [0, \infty)$ ser de la clase $C^1$ y no idéntica a cero. A continuación, por medio del Teorema del Valor, tenemos $$ \sum_{k=1}^{n} f \left( \tfrac{2k}{2n} \right) = \sum_{k=1}^{n} \left( f \left( \tfrac{2k-1}{2n} \right) + f' (x_{n,k}) \frac{1}{2n} \right) $$ para algunos $x_{n,k} \in \left(\frac{2k-1}{2n}, \frac{2k}{2n} \right)$. Dejar $$ I_n = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f \left( \tfrac{2k-1}{2n} \right) \quad \text{and} \quad J_n = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n}f' (x_{n,k}),$$ Tenemos $$I_n \to I := \int_{0}^{1} f(x) \; dx \quad \text{and} \quad J_n \to J := \int_{0}^{1} f'(x) \; dx.$$ Por lo tanto, obtenemos $$ \left[ \frac{\sum_{k=1}^{n} f \left( \frac{2k}{2n} \right)}{\sum_{k=1}^{n} f \left( \frac{2k-1}{2n} \right)} \right]^{n} = \left( \frac{nI_n + \frac{1}{2}J_n}{n I_n} \right)^{n} = \left( 1 + \frac{1}{n}\frac{J_n}{2I_n} \right)^{n} \xrightarrow[n\to\infty]{} \exp \left( \frac{J}{2I} \right). $$ Ahora conectar $f(x) = \sin x$, el límite correspondiente es $\exp \left( \frac{1}{2} \cot \frac{1}{2} \right)$.

Answer 2

Considere la posibilidad de $$z=\cos\frac{1}{2n}+i\sin\frac{1}{2n}$$ Entonces el numerador y el denominador se expresan respectivamente: $$A_n=z^{2}+z^{4}+\cdots+z^{2n}=\frac{z^{2}\left(1-z^{2n+2}\right)}{1-z^{2}}$$ $$B_n=z+z^{3}+\cdots+z^{2n-1}=\frac{z\left(1-z^{2n+1}\right)}{1-z}$$ Separar las partes reales e imaginarias