La igualdad caso de la desigualdad de Schwartz

Question

Pregunta:

El hecho de que $a^2 \geq 0$ $ \forall a \in \mathbb{R}$; elemental que pueda parecer, es sin embargo, la idea fundamental sobre la cual la más importante de las desigualdades en última instancia se basan. El gran abuelo de todas las desigualdades, es la Schwarz desigualdad: $ x_1 y_1 + x_2 y_2 \leq \sqrt {x_1^2 + x_2^2} $ $\sqrt {y_1^2 + y_2^2} $

1. Probar que si $x_1 = \lambda y_1 $ $x_2 = \lambda y_2$ para un número $\lambda$, entonces la igualdad se mantiene en el Schwarz desigualdad.

Fácil de obtener $ \lambda (y_1^2 + y_2^2) \geq |\lambda | (y_1^2 + y_2^2) $ si definimos $ y_1 \geq x_1 $ $ y_2 >x_2 $ w.o pérdida de generalidad que ambos lados son iguales.

2. Demostrar la misma cosa al $ y_1 = y_2 = 0$

usted acaba de obtener 0=0 lo cual está bien.

3. Supongamos ahora que $y_1 $ $y_2$ no son tanto $0$ y que no hay tal $\lambda $ tal que $x_1 = \lambda y_1 $ $x_2 = \lambda y_2$

A continuación, $ 0 < ( \lambda y_1- x_1)^2 + ( \lambda y_2- x_2)^2 $

Cómo terminar la respuesta a esta parte es mi pregunta y honestamente no tengo idea de lo que la última línea dice/implica y que intuitivamente parece un galimatías, así que por favor mudo por su respuesta, por favor!

Edit: ( lo siento por llegar la señal hacia atrás muy cansado cuando escribí esto.) Amplié $ 0 < \lambda^2 (y_1^2 + y_2^2) -2\lambda ( x_1 y_1 + x_2 y_2) + (x_1^2 + x_2^2)$ no está seguro de si eso ayuda a alguien.

Answer 1

Como se obtiene,$$0 < ( \lambda y_1- x_1)^2 + ( \lambda y_2- x_2)^2 \iff (y_1^2+y_2)^2\lambda^2-2(x_1y_1+x_2y_2)\lambda+(x_1^2+x_2^2) > 0$$

Ahora, si usted no está familiarizado con el uso de la discriminante, usted puede "completar el cuadrado" para obtener: $$\iff (y_1^2+y_2^2)\left(\color{red}{\lambda - \frac{x_1y_1+x_2y_2}{y_1^2+y_2^2}} \right)^2+\color{blue}{(x_1^2+x_2^2)-\frac{(x_1y_1+x_2y_2)^2}{(y_1^2+y_2^2)}} > 0$$

Como esto debe ser cierto para todos los $\lambda$, en particular, se debe mantener para $\color{red}{\lambda = \dfrac{x_1y_1+x_2y_2}{y_1^2+y_2^2}} $, a partir de la cual el deseado desigualdad de la siguiente manera. $$\implies \color{blue}{(x_1^2+x_2^2)-\frac{(x_1y_1+x_2y_2)^2}{(y_1^2+y_2^2)}} > 0 \implies (x_1^2+x_2^2)(y_1^2+y_2^2)> (x_1y_1+x_2y_2)^2$$