La restricción de una cubierta de mapa en el componente conectado de su definición de dominio

Question

Supongamos $p:Y\to X$ es una cubierta mapa, $X,Y$ son colectores e $X$ está conectado. Si $Z$ está conectado a un componente de $Y$, me pregunto si la restricción de $p$ $Z$ es también una cubierta mapa? Si no, ¿qué condiciones debería ser añadido para garantizar la restricción es una cubierta mapa? (esperar que $Y$ es compacto.)

Lo que yo hago: sé que sólo tiene que mostrar $p(Z)=X$. $p$ es un local homeomorphism y por lo tanto una carta abierta. $Z$ es un conjunto abierto desde $Y$ está conectado localmente, y, por supuesto, un conjunto cerrado, por lo $p(Z)$ es un conjunto abierto. A continuación quiero mostrarles $p(Z)$ también está cerrada, por lo $p(Z)$ es abierto y cerrado en la conexión de un espacio de $X$, lo $p(Z)=X$. Pero no puedo mostrarles $p(Z)$ es cerrado, tal vez yo trate de una manera incorrecta.

Answer 1

Voy a utilizar la definición de cobertura de mapa que aparece en Hatcher Topología Algebraica: Un mapa continuo $p:Y\to X$ se llama una cubierta mapa, si para cada a $x\in X$ hay un abrir vecindario $U$ $x$ cuyo preimagen es un (posiblemente vacía) discontinuo de la unión de bloques abiertos, cada uno de los cuales se asigna homeomorphically en $U$ través $p$. Tenga en cuenta que esta definición no requiere una cubierta mapa surjective.

Aún así, si el codominio es conectado, el mapa debe ser surjective por el siguiente argumento:

Suponga $x\notin p(Y)$. Luego de su preimagen $p^{-1}(x)$ está vacía. Hay un abrir $U$ contiene $x$ tal que $p^{-1}(U)$ es igual a $\bigsqcup_{\alpha\in I}U_\alpha$ donde $U_\alpha\approx U$ y todos los $U_\alpha$ están abiertos. Pero desde $x$ no está en la imagen de $p$, la inconexión de la unión debe ser el vacío de la unión. Esto significa que $U$ no se cruzan $p(Y)$, lo $p(Y)$ es cerrado.
Por otro lado, $p$ es una carta abierta. Si $V\subset Y$ es un conjunto abierto que contiene a $y$ $U$ es uniformemente cubierto barrio de $p(y)$, $y$ es en algunas de las $U_\alpha$. Desde $V\cap U_\alpha$ está abierto, $p(V\cap U_\alpha)$ es un subconjunto abierto de $U$, por lo tanto un conjunto abierto en $X$, que está contenida en $p(V)$, lo $p(V)$ está abierto.
Si $X$ está conectado, a continuación, $p(Y)$ debe $X$, siendo un clopen subconjunto de la conexión de un espacio.

Para demostrar que la restricción de la $p$ en su problema para el componente conectado a $Z$ es también una cubierta mapa, tomar un $x\in X$ y un vecindario $U$ tal que $p^{-1}(U)$ es igual a $\bigsqcup_{\alpha\in I}U_\alpha$ donde $U_\alpha\stackrel p\approx U$ y todos los $U_\alpha$ están abiertos. Desde $X$ está conectado localmente, existe un abierto conectado a $V$ tal que $x\in V\subset U$. Su preimagen es $\bigsqcup_{\alpha\in I}V_\alpha$ donde $V_\alpha$ es simplemente la preimagen de $V$ en el $U_\alpha$. Cada una de las $V_\alpha$ está conectado, por lo que es totalmente en $Z$ o es distinto a $Z$. Si elimina todas las $V_\alpha$'s que no están en $Z$ a partir de la unión, se puede obtener la preimagen de $V$ bajo la restricción de $p$. Esto significa que esta restringido $p$ todavía es una cubierta mapa.