Hay una relación entre el giro y la vuelta del grupo?

Question

En la Mecánica Cuántica spin aparece como un tipo de momentum angular. De hecho, en la Mecánica Cuántica un momento angular en el espacio de estado $\mathcal{E}$ es un triplete de características observables $\mathbf{J}=(J_1,J_2,J_3)$ tal que

$$[J_i,J_j]=i\hbar \epsilon_{ijk}J_k.$$

A partir de esta definición general se deduce que $J^2 = \sum_i J_i^2$ $J_3$ viaje, y es que consideramos que sus vectores propios $|k,j,m\rangle$ definido por las ecuaciones

$$J^2|k,j,m\rangle = j(j+1)\hbar^2 |k,j,m\rangle, $$ $$J_3|k,j,m\rangle = m\hbar|k,j,m\rangle.$$

A continuación mostramos que $j\geq 0$ $j$ es un número entero o la mitad de un entero, y para un determinado $j$, los únicos valores posibles para $m$$-j,-j+1,\dots,j-1,j$.

Ahora, desde un punto de vista físico, el espín es una propiedad intrínseca de las partículas que fue observado experimentalmente en experimentos como el experimento de Stern-Gerlach, y que deben ser tomados en cuenta para la teoría.

Las observaciones, a continuación, llevar a la habitual "spin-media", siendo teóricamente definido como el caso especial de impulso angular $\mathbf{S}$ cuyo único valor de $s$ $s = 1/2$ y por lo tanto, tenemos $m=\pm 1/2$. En ese caso se suele considerar el "spin espacio de estado" como el espacio de estado $\mathcal{E}_S$ donde el conjunto $\{S^2,S_z\}$ es un Conjunto Completo de Observables que Conmutan y por lo tanto tiene dimensión $2$ con base compuesta de $|+\rangle = |1/2,1/2\rangle$$|-\rangle = |1/2,-1/2\rangle$.

Por otro lado tenemos los llamados spin grupo, denotado $\operatorname{Spin}(n)$ lo define como "el doble de la portada del especial ortogonal grupo $\operatorname{SO}(n)$" de tal forma que hay una breve secuencia exacta de Mentira grupos:

$$1\to \mathbb{Z}_2\to\operatorname{Spin}(n)\to \operatorname{SO}(n)\to1.$$

Ahora bien, esta definición de la vuelta del grupo es demasiado abstracto, pero creo que hay una conexión entre éste y la vuelta de la Mecánica Cuántica. Esto se sugieren en primer lugar por el nombre del grupo y, en segundo lugar, porque tanto el giro y la vuelta del grupo de alguna manera están relacionados con las rotaciones.

Como un momento angular, el espín es un generador de rotaciones, mientras que $\operatorname{Spin}(n)$ se define en términos del grupo de rotaciones.

Así, hay una relación entre el giro de la Mecánica Cuántica y la vuelta del grupo? ¿Cómo podemos entender esta relación de forma intuitiva y cómo esta relación está conectado a esta excesivamente definición abstracta de $\operatorname{Spin}(n)$?

Answer 1

En la mecánica cuántica, las correspondientes representaciones de grupos de simetría en el espacio de estados que no son nuestros habitual representación lineal, pero proyectivas de las representaciones en el espacio de Hilbert. El proyectivas de las representaciones de un semi-simple Mentira de grupo, tales como la rotación de grupo $\mathrm{SO}(n)$ - están en bijection lineal de las representaciones de su cobertura universal. Para una discusión detallada y una derivación de estos hechos, ver este Q&A de la mina. La "intuición" para la aparición de las fo de la representación proyectiva es que los estados realmente no son vectores, pero los rayos en el espacio de Hilbert y, por tanto, de las "fases no importa".

Ahora, la rotación de grupo en $n > 2$ dimensiones tiene grupo fundamental de la $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, es decir, la universalización de la cobertura es sólo una cubierta doble. Por lo tanto, en $n>2$ dimensiones, el spin grupo es, por definición, su doble cubierta y, por tanto, el grupo necesitamos linealmente representan en el espacio de Hilbert para tener una representación proyectiva de la rotación del grupo. Nuestro amado media entero "spin" $s$ ahora es nada, pero el número de forma exclusiva el etiquetado de una irreductible representación lineal de $\mathrm{Spin}(3)$$L_x^2 + L_y^2 + L_z^2 = s(s+1)$.

Answer 2

El spin grupo está relacionado con el spin-la mitad de objetos, llamados spinors. Si se rota un spinor por 360 grados, obtiene el negativo de la spinor con el que comenzó. Ahora sería agradable si usted podría representar la acción de esta rotación diciendo que un elemento de $SO(n)$ está actuando en el spinor. Sin embargo, esto no se puede hacer debido a una rotación de 360 grados es el mismo que el elemento de identidad de $SO(n)$, y por lo tanto la acción de esta rotación debe ser dejar el spinor invariante, contrariamente a lo que sabemos que sucede. Así no hay manera de representar adecuadamente a la acción de la $SO(n)$ rotaciones en un spinor.

Sin embargo, si usted tenía un grupo más grande, donde una rotación de 360 grados no llevará de vuelta al elemento de identidad, entonces usted podría ser capaz de hacer una correspondencia uno a uno entre los elementos de este grupo más grande y la transformación lineal que se provoca en spinors.

El spin grupo es este grupo más grande. Desde el spin group es una doble cubierta de $SO(n)$, una rotación de 360 grados sólo se lleva a la mitad del camino alrededor de la vuelta del grupo, y así el elemento de grupo correspondiente a una vista de 360 grados de rotación no está limitado a actuar como la identidad sobre el spinor, pero en lugar de multiplicar el spinor por $-1$, como debe ser.

Entonces, para resumir, usted puede hacer un grupo de todas las rotaciones finitas que pueden ser aplicadas a un spinor. Este grupo no es $SO(n)$, ya que la identidad de rotación y una vista de 360 grados de rotación de actuar de manera diferente en el spinor pero son las mismas en $SO(n)$. De manera que el grupo de rotaciones finitas que pueden ser aplicadas a un spinor debe tener más de $SO(n)$. De hecho, este grupo resulta ser la vuelta del grupo, que es una cubierta doble de $SO(n)$