Para cada número racional, ¿existe una secuencia de irrationals que converge a ella?

Question

Que puedo pensar de ejemplos en los que una secuencia de irrationals converge a $0$. Pero si tomamos cualquier racional no siempre existe una secuencia de irrationals que converge a ella?

No puedo encontrar una respuesta clara a esta pregunta.

Answer 1

Suponga que su número es $\frac{p}{q}$. A continuación, la secuencia $$a_n=\frac{\pi}{n}+\frac{p}{q}$$ converges to the given number and is irrational (any irrational number in the place of $\pi$ haría).

Answer 2

Sí, tomar una secuencia que consiste en la secuencia de irrationals convergentes a $0$ más deseado racional límite.

Answer 3

Sí: Si $r\in\Bbb Q$, luego $\forall n\in\Bbb N$: ${rn\over n+\sqrt2}\in{\Bbb Q}^c$ y $$\lim_{n\to\infty}{rn\over n+\sqrt2}=r.$$

Answer 4

Para cualquier número racional $x=\frac{p}{q}$$\gcd(p,q)=1$, al considerar: $$ x_n = \frac{p}{q}\cdot\frac{n}{\sqrt{n^2+1}}.$$ Claramente todas las $x_n$ pertenecen a $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ y tenemos $\lim_{n\to +\infty} x_n = x$.

Answer 5

Sí. Considere la posibilidad de

$\frac{p}{q} - \frac{\sqrt{2}}{n}$