¿Cómo puedo encontrar el valor principal de Cauchy de esta integral utilizando el análisis complejo?

Question

Se supone que debo resolver la integral real utilizando una integral de contorno (El valor principal de Cauchy). ¿Puede alguien echarme una mano? Parece que no soy capaz de hacerlo...

Esto es lo que he probado hasta ahora:

• He intentado calcular primero la integral de contorno utilizando el teorema del residuo. Simplifiqué el residuo total a : $$-\cos(\pi a) - i\sin(\pi a)$$

• También intenté demostrar que la parte de la integral que no se encuentra en la recta real va a cero como $R$ va al infinito. (donde $R$ es el límite de la integral). Intenté usar la igualdad de ML en combinación con la igualdad del triángulo sin éxito.

Gracias.

Answer 1

Después de haber acordado que se trata de una integral ordinaria, el resto no es difícil:

Denotemos los cuatro caminos por $I_1,I_2,I_3,I_4$ donde $I_1$ corresponde a la integral en cuestión, $I_2, I_4$ son las partes paralelas al eje imaginario y $I_3$ es la horizontal que pasa $z=2\pi i$ . Utilizando el contorno anterior, vemos fácilmente que las partes horizontales sólo se diferencian por la fase por lo que $$I_3=-e^{2\pi a i}I_1$$

Además, es fácil demostrar que $I_2,I_4$ se desvanecen en el límite $|r|\rightarrow\infty$ . También podemos comprobar fácilmente que sólo hay un residuo en $z=\pi i$ dentro del contorno. Podemos concluir que

$$I_1-e^{2\pi a i}I_1=2\pi i Res[z=i\pi]$$ Utilizando $Res[z=i\pi]=-i e^{i \pi a}$ obtenemos $$I_1=\frac{\pi}{\sin(\pi a)}$$