Probando el AM-GM de la Desigualdad con Multiplicadores de Lagrange

Question

Ejercicio: Supongamos $x_1,x_2,...,x_n$ ser real números positivos. Demostrar la media aritmética-media geométrica de la desigualdad, $(x_1x_2...x_n)^{1/n}\le (x_1+x_2+...+x_n)/n$.

Sugerencia: Considere la función $f(x_1,x_2,...,x_n)=(x_1+x_2+...+x_n)/n$ sujeto a la restricción $x_1x_2...x_n=c$ una constante.

Mi trabajo:

Considere la posibilidad de $f(x_1,x_2,...x_n)=(x_1+x_2+...+x_n)/n$ $S=\{(x_1,x_2,...,x_n) | x_1x_2...x_n=c\}$

$g(x_1,x_2,...,x_n)=x_1x_2...x_n-c=0$

$\nabla f(x_1,x_2,...,x_n)=(1/n,1/n...,1/n)$

$\nabla g(x_1,x_2,...,x_n)=(c/x_1,c/x_2,...c/x_n)$

$\nabla f = \lambda \nabla g$

$1/(n\lambda)=c/x_1=c/x_2=...=c/x_n$

$x_1=x_2=...=x_n=n\lambda c$

En el punto $(n\lambda c, n\lambda c,... n\lambda c)$, $f$ en $S$ tiene un máximo o un mínimo.

$f(n\lambda c, n\lambda c,...,n\lambda c)=n(n\lambda c)/n=n\lambda c$

$(n\lambda c*n\lambda c*...*n\lambda c)^{1/n}=((n\lambda c)^n)^{1/n}=n\lambda c = f(n\lambda c, n\lambda c,...,n\lambda c)$

Esto demuestra la igualdad caso. Para demostrar la desigualdad, quiero mostrar que en el punto $(n\lambda c,n\lambda c,...,n\lambda c)$, $f$ en $S$ es de un máximo mínimo. Traté de probar que el de Hesse es negativo positivo definido, pero tuve problemas en el trabajo con el segundo derivados. He mirado varias pruebas para la AM-GM de la desigualdad. El Lagrange no hacer pleno sentido para mí, así que pensé que me iría a MSE. Alguna idea? Gracias!

Answer 1

Nota: es más conveniente para los cálculos de suponer (sin pérdida de generalidad) que $c=1$.

La matriz Hessiana de $f$ es igual a $$\left(\frac{d^2f(x)}{dx_idx_j}\right)_{i,j=1,\ldots n}=\mathbb{0}_{n\times n}$$ and thus positive semidefinite (the zero matrix). For example $$\frac{d^2f(x)}{dx_2dx_1}=\frac{d}{dx_2}\left(\frac{df(x)}{dx_1}\right)=\frac{d}{dx_2}\left(\frac{d}{dx_1}\left(x_1+x_2+\ldots+x_n\right)\frac{1}{n}\right)=\frac{d}{dx_2}\left(\frac{1}{n}\right)=0$$ Note that this is also immediate since $f$ is linear in $x_i$ and thus convex. However a linear function is also concave, which means that the Hessian matrix is also negative semidefinite. Combining the two you get that the Hessian matrix is the zero matrix. So this is not the way to prove that $f$ tiene un mínimo en ese punto.

Ya sabes que en el punto de $x^*:=(n\lambda c,\ldots,n\lambda c)$ $f$ es igual a $$f(x^*)=n\lambda c$$ and that at that point $f$ has either a maximum or a minimum, it is easier to find a point in $S$ that has a greater value, thus proving that $f$ has in $x^*$ a minimum. Firstly, determine that $$\lambda=\frac{c^{\frac{1}{n}-1}}{n}$$ so that in the proposed solution $x_i=c^{\frac{1}{n}}$ and $f(c^{\frac{1}{n}},\ldots,c^{\frac{1}{n}})=\frac{nc^{\frac{1}{n}}}{n}=c^{\frac{1}{n}}.$ For $c=1$ you have that $x^*=(1,1,\ldots,1)$ and $f(x^*)=1.$ Now the admissible solution $$(x_1,x_2,\ldots,x_n)=(2,\frac{1}{2},1,\ldots,1)$$ yields a bigger value for $f$, which is equal to $$f(2,\frac{1}{2},1,\ldots,1)=\frac{2+\frac{1}{2}+n-2}{n}=1+\frac{1}{2n}>1$$ implying that in the point $x^8$ the function $f$ tiene un mínimo deseado.