Ampliación de holomorphic $f$ en la unidad de disco a la frontera como $1/z$

Question

He encontrado la siguiente declaración del problema en un libro (Stein y Shakarchi):

Demostrar que no existe ninguna holomorphic función de $f$ en la unidad de disco $\mathbb{D}$ que se extiende continuamente a $\partial D$ tal que $f\left(z\right) = 1/z$ $z\in \partial D$

Sé que necesito uniforme de la continuidad de la $f$ $\mathbb{D}$ para mostrar:

$$\lim_{r\rightarrow 1^{-}} \int_{C_{r}}f = \int_{C_{1}} f = \int_{C_{1}} (1/z) = 2 \pi i$$

Y luego puedo conseguir una contradicción. Yo creo recordar $f$ siendo uniforme continua si es continua en un conjunto compacto - sin embargo no estoy seguro de cómo probar esto. También no estoy seguro de cómo probar que la integral ecuaciones anteriores teniendo en cuenta este hecho. Alguna sugerencia?

Answer 1

Sí, una función continua en un conjunto compacto es uniformemente continua. "...sin embargo no estoy seguro de cómo probar esto." ¿Está buscando para probar este resultado estándar sólo para aplicarlo en un caso, o tendría que ser cómodo acaba de citar por ahora? He aquí una referencia.

Supongamos $f$ tiene una extensión continua a la frontera. Que significa la extensión, que todavía estamos llamando $f$, es continua en el disco cerrado, que es un conjunto compacto porque es cerrado y acotado. Esto implica $f$ es uniformemente continua, por lo que al parecer es llamado el Heine–Cantor teorema. También implica que $f$ es acotado, es decir, existe cierta $M>0$ tal que $|f(z)|\leq M$$|z|\leq 1$.

Dado $r$$0<r<1$, se puede demostrar que los $\int_{C_r}f(z)\,dz = r\int_{C_1}f(rz)\,dz$. De ello se sigue que

$$\begin{align*} \left|\int_{C_1}f(z)\,dz-\int_{C_r}f(z)\,dz\right|&=\left|\int_{C_1}f(z)-f(rz)\,dz+(1-r)\int_{C_1}f(rz)\,dz\right|\\ &\leq \left|\int_{C_1}f(z)-f(rz)\,dz\right|+(1-r)\left|\int_{C_1}f(rz)\,dz\right|\\ &\leq 2\pi\max\{|f(z)-f(rz)|:|z|=1\}+(1-r)2\pi M. \end{align*}$$

Por uniforme de continuidad, dado $\varepsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que $|w-z|<\delta$ implica $|f(w)-f(z)|<\frac{\varepsilon}{4\pi}$. Si $r$ elegido es tal que $1-r<\delta$, y de tal manera que $1-r<\dfrac{\varepsilon}{4\pi M}$, o en otras palabras, $r>\max\left\{1-\delta,1-\frac{\varepsilon}{4\pi M}\right\}$, entonces para todos los $z$ $|z|=1$ tenemos $|f(z)-f(rz)|<\frac{\varepsilon}{4\pi}$ por $\delta$, y por lo tanto

$$\left|\int_{C_1}f(z)\,dz-\int_{C_r}f(z)\,dz\right|< 2\pi \frac{\varepsilon}{4\pi} + \dfrac{\varepsilon}{4\pi M}2\pi M=\varepsilon.$$

Esto demuestra que $\lim\limits_{r\nearrow 1}\int_{C_r}f(z)\,dz = \int_{C_1}f(z)\,dz$. Todos los que se utilizó fue que $f$ es continua en el disco cerrado. (Por cierto, en tu caso tendrás $M=1$ a un máximo del módulo de teorema.) Esta igualdad ha de proporcionar una contradicción en su caso, como usted ha mencionado, porque implica que $\int_{C_1}f(z)\,dz = 0$ cualquier $f$ que es la extensión continua de un holomorphic función en el disco abierto, por Cauchy teorema en el disco.

Answer 2

Usted puede comprobar esto por la contradicción. Supongamos que un $f$ existe. Deje $C_r$ ser la circunferencia de radio $r$ centrada en el origen con orientación positiva. Por el teorema de Cauchy $$\int_{C_r}f(z) dz=0$$ for all $0<r<1$. Since $f$ is continuous on $\partial D$, we can let $r\a 1$ to obtain $$\int_{C_1}f(z) dz=0.$$ But $$\int_{C_1}f(z)dz = \int_{C_1}\frac{1}{z}dz = 2\pi i \neq 0,$$ así pues, tenemos una contradicción.