La comparación de flecha hacia arriba del

Question

Es cierto que $$3\uparrow^{n+1} 3\ >\ n\uparrow^n n $$

es válido para cada $n\ge 1$

Desde $3\uparrow^{n+1}3=3\uparrow ^n 3\uparrow ^n 3$ $3\uparrow^n3$ es mucho más grande que $n$$n\ge 3$, el poder de la torre paradoja parece garantizar este la desigualdad, sino que la búsqueda de una rigurosa prueba.

La inducción no parece ayudar aquí.

Answer 1

Usted podría estar interesado en la Knuth Flecha Teorema, demostrado por Sbiis Saibian. Este establece:

$$\forall a,b,c,d \geq 2 : (a \uparrow^b c) \uparrow^b d < a \uparrow^b (c+d)$$

En el documento que él también demuestra dos lema:

• $a \uparrow^b c$ es estrictamente creciente con respecto a los argumentos. [L1]
• $f(b) = a \uparrow^b c \geq c+1$. [L2]

Ambos siempre que $a>1$.

Con esto, podemos ver que $$3 \uparrow^n 3 = 3 \uparrow^{n-1} 3 \uparrow^{n-1} 3 \geq 3 \uparrow^{n-1} n > 3 \uparrow^{0} n = 3n > 2n$$

Primer paso, por definición, el segundo paso por L2, tercer paso por L1, cuarto paso por definición.

También tenemos $3 \uparrow^n n > n$, de modo que L1 tenemos:

$$n \uparrow^n n < (3 \uparrow^n n) \uparrow^n n < 3 \uparrow^n 2n \leq 3 \uparrow^n 3 \uparrow^n 3 = 3 \uparrow^{n+1} 3$$

Primer paso por L1, segundo por Knuth Teorema de la Flecha, la tercera por la probada anteriormente, cuarto por definición.